Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100535 / 98725
↖ ↑ ↗
← S 66.969849°
E 96.127625°		 ← 119.49 m → S 66.969849°
E 96.130371°		 →
↑
119.52 m
↓
↑
119.52 m
↓
S 66.970924°
E 96.127625°		 ← 119.48 m →
14 281 m²		 S 66.970924°
E 96.130371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767024993896484 y=0.753215789794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767024993896484 × 217)
    floor (0.767024993896484 × 131072)
    floor (100535.5)     		tx = 100535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753215789794922 × 217)
    floor (0.753215789794922 × 131072)
    floor (98725.5)     		ty = 98725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100535 / 98725 ti = "17/100535/98725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100535/98725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100535 ÷ 217
    100535 ÷ 131072     		x = 0.767021179199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98725 ÷ 217
    98725 ÷ 131072     		y = 0.753211975097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767021179199219 × 2 - 1) × π
    0.534042358398438 × 3.1415926535     		Λ = 1.67774355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753211975097656 × 2 - 1) × π
    -0.506423950195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.59097776149004
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67774355} λ = 1.67774355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59097776149004))-π/2
    2×atan(0.203726318570694)-π/2
    2×0.200975977438656-π/2
    0.401951954877311-1.57079632675     		φ = -1.16884437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67774355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.127625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16884437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.969849°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100535 KachelY 98725 1.67774355 -1.16884437 96.127625 -66.969849
    Oben rechts KachelX + 1 100536 KachelY 98725 1.67779149 -1.16884437 96.130371 -66.969849
    Unten links KachelX 100535 KachelY + 1 98726 1.67774355 -1.16886313 96.127625 -66.970924
    Unten rechts KachelX + 1 100536 KachelY + 1 98726 1.67779149 -1.16886313 96.130371 -66.970924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16884437--1.16886313) × R
    1.87600000001176e-05 × 6371000     		dl = 119.519960000749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16884437--1.16886313) × R
    1.87600000001176e-05 × 6371000     		dr = 119.519960000749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67774355-1.67779149) × cos(-1.16884437) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.391215470564664 × 6371000     		do = 119.487274596582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67774355-1.67779149) × cos(-1.16886313) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.391198205684481 × 6371000     		du = 119.482001457777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16884437)-sin(-1.16886313))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391215470564664-0.391198205684481)×R²
    abs(1.67779149-1.67774355)×1.72648801823327e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.72648801823327e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.72648801823327e-05×40589641000000     		ar = 14280.7991581617m²