Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100535 / 98231
↖ ↑ ↗
← S 66.433225°
E 96.127625°		 ← 122.11 m → S 66.433225°
E 96.130371°		 →
↑
122.13 m
↓
↑
122.13 m
↓
S 66.434323°
E 96.127625°		 ← 122.11 m →
14 914 m²		 S 66.434323°
E 96.130371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767024993896484 y=0.749446868896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767024993896484 × 217)
    floor (0.767024993896484 × 131072)
    floor (100535.5)     		tx = 100535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749446868896484 × 217)
    floor (0.749446868896484 × 131072)
    floor (98231.5)     		ty = 98231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100535 / 98231 ti = "17/100535/98231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100535/98231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100535 ÷ 217
    100535 ÷ 131072     		x = 0.767021179199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98231 ÷ 217
    98231 ÷ 131072     		y = 0.749443054199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767021179199219 × 2 - 1) × π
    0.534042358398438 × 3.1415926535     		Λ = 1.67774355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749443054199219 × 2 - 1) × π
    -0.498886108398438 × 3.1415926535     		Φ = -1.56729693307774
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67774355} λ = 1.67774355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56729693307774))-π/2
    2×atan(0.208608303141496)-π/2
    2×0.205658906512094-π/2
    0.411317813024188-1.57079632675     		φ = -1.15947851
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67774355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.127625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15947851 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.433225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100535 KachelY 98231 1.67774355 -1.15947851 96.127625 -66.433225
    Oben rechts KachelX + 1 100536 KachelY 98231 1.67779149 -1.15947851 96.130371 -66.433225
    Unten links KachelX 100535 KachelY + 1 98232 1.67774355 -1.15949768 96.127625 -66.434323
    Unten rechts KachelX + 1 100536 KachelY + 1 98232 1.67779149 -1.15949768 96.130371 -66.434323
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15947851--1.15949768) × R
    1.91700000000683e-05 × 6371000     		dl = 122.132070000435m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15947851--1.15949768) × R
    1.91700000000683e-05 × 6371000     		dr = 122.132070000435m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67774355-1.67779149) × cos(-1.15947851) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.399817578737242 × 6371000     		do = 122.11457985075m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67774355-1.67779149) × cos(-1.15949768) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.399800007542755 × 6371000     		du = 122.109213155672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15947851)-sin(-1.15949768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399817578737242-0.399800007542755)×R²
    abs(1.67779149-1.67774355)×1.75711944861434e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75711944861434e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75711944861434e-05×40589641000000     		ar = 14913.7786919099m²