Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100535 / 101191
↖ ↑ ↗
← S 69.479709°
E 96.127625°		 ← 107.06 m → S 69.479709°
E 96.130371°		 →
↑
107.03 m
↓
↑
107.03 m
↓
S 69.480672°
E 96.127625°		 ← 107.06 m →
11 459 m²		 S 69.480672°
E 96.130371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767024993896484 y=0.772029876708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767024993896484 × 217)
    floor (0.767024993896484 × 131072)
    floor (100535.5)     		tx = 100535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772029876708984 × 217)
    floor (0.772029876708984 × 131072)
    floor (101191.5)     		ty = 101191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100535 / 101191 ti = "17/100535/101191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100535/101191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100535 ÷ 217
    100535 ÷ 131072     		x = 0.767021179199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101191 ÷ 217
    101191 ÷ 131072     		y = 0.772026062011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767021179199219 × 2 - 1) × π
    0.534042358398438 × 3.1415926535     		Λ = 1.67774355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772026062011719 × 2 - 1) × π
    -0.544052124023438 × 3.1415926535     		Φ = -1.7091901559531
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67774355} λ = 1.67774355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7091901559531))-π/2
    2×atan(0.181012325028753)-π/2
    2×0.179073319925051-π/2
    0.358146639850102-1.57079632675     		φ = -1.21264969
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67774355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.127625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21264969 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.479709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100535 KachelY 101191 1.67774355 -1.21264969 96.127625 -69.479709
    Oben rechts KachelX + 1 100536 KachelY 101191 1.67779149 -1.21264969 96.130371 -69.479709
    Unten links KachelX 100535 KachelY + 1 101192 1.67774355 -1.21266649 96.127625 -69.480672
    Unten rechts KachelX + 1 100536 KachelY + 1 101192 1.67779149 -1.21266649 96.130371 -69.480672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21264969--1.21266649) × R
    1.6800000000039e-05 × 6371000     		dl = 107.032800000248m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21264969--1.21266649) × R
    1.6800000000039e-05 × 6371000     		dr = 107.032800000248m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67774355-1.67779149) × cos(-1.21264969) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.350539072508407 × 6371000     		do = 107.063655619724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67774355-1.67779149) × cos(-1.21266649) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.350523338450724 × 6371000     		du = 107.058850033513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21264969)-sin(-1.21266649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350539072508407-0.350523338450724)×R²
    abs(1.67779149-1.67774355)×1.57340576821818e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57340576821818e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57340576821818e-05×40589641000000     		ar = 11459.065661897m²