Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100534 / 98726
↖ ↑ ↗
← S 66.970924°
E 96.124878°		 ← 119.48 m → S 66.970924°
E 96.127625°		 →
↑
119.46 m
↓
↑
119.46 m
↓
S 66.971998°
E 96.124878°		 ← 119.48 m →
14 273 m²		 S 66.971998°
E 96.127625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767017364501953 y=0.753223419189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767017364501953 × 217)
    floor (0.767017364501953 × 131072)
    floor (100534.5)     		tx = 100534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753223419189453 × 217)
    floor (0.753223419189453 × 131072)
    floor (98726.5)     		ty = 98726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100534 / 98726 ti = "17/100534/98726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100534/98726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100534 ÷ 217
    100534 ÷ 131072     		x = 0.767013549804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98726 ÷ 217
    98726 ÷ 131072     		y = 0.753219604492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767013549804688 × 2 - 1) × π
    0.534027099609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.67769561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753219604492188 × 2 - 1) × π
    -0.506439208984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.59102569838966
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67769561} λ = 1.67769561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59102569838966))-π/2
    2×atan(0.203716552796683)-π/2
    2×0.20096660081716-π/2
    0.40193320163432-1.57079632675     		φ = -1.16886313
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67769561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.124878°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16886313 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.970924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100534 KachelY 98726 1.67769561 -1.16886313 96.124878 -66.970924
    Oben rechts KachelX + 1 100535 KachelY 98726 1.67774355 -1.16886313 96.127625 -66.970924
    Unten links KachelX 100534 KachelY + 1 98727 1.67769561 -1.16888188 96.124878 -66.971998
    Unten rechts KachelX + 1 100535 KachelY + 1 98727 1.67774355 -1.16888188 96.127625 -66.971998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16886313--1.16888188) × R
    1.87499999999563e-05 × 6371000     		dl = 119.456249999722m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16886313--1.16888188) × R
    1.87499999999563e-05 × 6371000     		dr = 119.456249999722m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67769561-1.67774355) × cos(-1.16886313) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.391198205684481 × 6371000     		do = 119.482001457777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67769561-1.67774355) × cos(-1.16888188) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.39118094986976 × 6371000     		du = 119.476731087796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16886313)-sin(-1.16888188))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391198205684481-0.39118094986976)×R²
    abs(1.67774355-1.67769561)×1.72558147217283e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.72558147217283e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.72558147217283e-05×40589641000000     		ar = 14272.5570478507m²