Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100532 / 98772
↖ ↑ ↗
← S 67.020299°
E 96.119385°		 ← 119.24 m → S 67.020299°
E 96.122132°		 →
↑
119.20 m
↓
↑
119.20 m
↓
S 67.021371°
E 96.119385°		 ← 119.23 m →
14 213 m²		 S 67.021371°
E 96.122132°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767002105712891 y=0.753574371337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767002105712891 × 217)
    floor (0.767002105712891 × 131072)
    floor (100532.5)     		tx = 100532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753574371337891 × 217)
    floor (0.753574371337891 × 131072)
    floor (98772.5)     		ty = 98772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100532 / 98772 ti = "17/100532/98772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100532/98772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100532 ÷ 217
    100532 ÷ 131072     		x = 0.766998291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98772 ÷ 217
    98772 ÷ 131072     		y = 0.753570556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766998291015625 × 2 - 1) × π
    0.53399658203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.67759974
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753570556640625 × 2 - 1) × π
    -0.50714111328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.59323079577219
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67759974} λ = 1.67759974}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59323079577219))-π/2
    2×atan(0.203267832876718)-π/2
    2×0.200535723147938-π/2
    0.401071446295876-1.57079632675     		φ = -1.16972488
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67759974} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.119385°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16972488 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.020299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100532 KachelY 98772 1.67759974 -1.16972488 96.119385 -67.020299
    Oben rechts KachelX + 1 100533 KachelY 98772 1.67764768 -1.16972488 96.122132 -67.020299
    Unten links KachelX 100532 KachelY + 1 98773 1.67759974 -1.16974359 96.119385 -67.021371
    Unten rechts KachelX + 1 100533 KachelY + 1 98773 1.67764768 -1.16974359 96.122132 -67.021371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16972488--1.16974359) × R
    1.87099999999774e-05 × 6371000     		dl = 119.201409999856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16972488--1.16974359) × R
    1.87099999999774e-05 × 6371000     		dr = 119.201409999856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67759974-1.67764768) × cos(-1.16972488) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.390404986443996 × 6371000     		do = 119.239731884269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67759974-1.67764768) × cos(-1.16974359) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.390387761140935 × 6371000     		du = 119.234470833335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16972488)-sin(-1.16974359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390404986443996-0.390387761140935)×R²
    abs(1.67764768-1.67759974)×1.72253030601421e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.72253030601421e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.72253030601421e-05×40589641000000     		ar = 14213.230606582m²