Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100531 / 98706
↖ ↑ ↗
← S 66.949425°
E 96.116638°		 ← 119.59 m → S 66.949425°
E 96.119385°		 →
↑
119.58 m
↓
↑
119.58 m
↓
S 66.950501°
E 96.116638°		 ← 119.58 m →
14 300 m²		 S 66.950501°
E 96.119385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766994476318359 y=0.753070831298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766994476318359 × 217)
    floor (0.766994476318359 × 131072)
    floor (100531.5)     		tx = 100531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753070831298828 × 217)
    floor (0.753070831298828 × 131072)
    floor (98706.5)     		ty = 98706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100531 / 98706 ti = "17/100531/98706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100531/98706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100531 ÷ 217
    100531 ÷ 131072     		x = 0.766990661621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98706 ÷ 217
    98706 ÷ 131072     		y = 0.753067016601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766990661621094 × 2 - 1) × π
    0.533981323242188 × 3.1415926535     		Λ = 1.67755180
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753067016601562 × 2 - 1) × π
    -0.506134033203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.59006696039726
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67755180} λ = 1.67755180}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59006696039726))-π/2
    2×atan(0.2039119572514)-π/2
    2×0.201154211861583-π/2
    0.402308423723167-1.57079632675     		φ = -1.16848790
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67755180} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.116638°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16848790 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.949425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100531 KachelY 98706 1.67755180 -1.16848790 96.116638 -66.949425
    Oben rechts KachelX + 1 100532 KachelY 98706 1.67759974 -1.16848790 96.119385 -66.949425
    Unten links KachelX 100531 KachelY + 1 98707 1.67755180 -1.16850667 96.116638 -66.950501
    Unten rechts KachelX + 1 100532 KachelY + 1 98707 1.67759974 -1.16850667 96.119385 -66.950501
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16848790--1.16850667) × R
    1.87700000000568e-05 × 6371000     		dl = 119.583670000362m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16848790--1.16850667) × R
    1.87700000000568e-05 × 6371000     		dr = 119.583670000362m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67755180-1.67759974) × cos(-1.16848790) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.391543504726136 × 6371000     		do = 119.587464673095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67755180-1.67759974) × cos(-1.16850667) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.391526233261529 × 6371000     		du = 119.582189523237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16848790)-sin(-1.16850667))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391543504726136-0.391526233261529)×R²
    abs(1.67759974-1.67755180)×1.72714646071714e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.72714646071714e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.72714646071714e-05×40589641000000     		ar = 14300.3925010439m²