Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100529 / 98708
↖ ↑ ↗
← S 66.951576°
E 96.111145°		 ← 119.58 m → S 66.951576°
E 96.113892°		 →
↑
119.58 m
↓
↑
119.58 m
↓
S 66.952651°
E 96.111145°		 ← 119.57 m →
14 299 m²		 S 66.952651°
E 96.113892°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766979217529297 y=0.753086090087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766979217529297 × 217)
    floor (0.766979217529297 × 131072)
    floor (100529.5)     		tx = 100529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753086090087891 × 217)
    floor (0.753086090087891 × 131072)
    floor (98708.5)     		ty = 98708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100529 / 98708 ti = "17/100529/98708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100529/98708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100529 ÷ 217
    100529 ÷ 131072     		x = 0.766975402832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98708 ÷ 217
    98708 ÷ 131072     		y = 0.753082275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766975402832031 × 2 - 1) × π
    0.533950805664062 × 3.1415926535     		Λ = 1.67745593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753082275390625 × 2 - 1) × π
    -0.50616455078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.5901628341965
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67745593} λ = 1.67745593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5901628341965))-π/2
    2×atan(0.203892408374475)-π/2
    2×0.201135443307926-π/2
    0.402270886615852-1.57079632675     		φ = -1.16852544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67745593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.111145°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16852544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.951576°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100529 KachelY 98708 1.67745593 -1.16852544 96.111145 -66.951576
    Oben rechts KachelX + 1 100530 KachelY 98708 1.67750387 -1.16852544 96.113892 -66.951576
    Unten links KachelX 100529 KachelY + 1 98709 1.67745593 -1.16854421 96.111145 -66.952651
    Unten rechts KachelX + 1 100530 KachelY + 1 98709 1.67750387 -1.16854421 96.113892 -66.952651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16852544--1.16854421) × R
    1.87700000000568e-05 × 6371000     		dl = 119.583670000362m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16852544--1.16854421) × R
    1.87700000000568e-05 × 6371000     		dr = 119.583670000362m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67745593-1.67750387) × cos(-1.16852544) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.391508961658982 × 6371000     		do = 119.576914331248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67745593-1.67750387) × cos(-1.16854421) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.391491689918501 × 6371000     		du = 119.57163909713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16852544)-sin(-1.16854421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391508961658982-0.391491689918501)×R²
    abs(1.67750387-1.67745593)×1.72717404806066e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.72717404806066e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.72717404806066e-05×40589641000000     		ar = 14299.1308475074m²