Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100528 / 101200
↖ ↑ ↗
← S 69.488372°
E 96.108398°		 ← 107.02 m → S 69.488372°
E 96.111145°		 →
↑
107.03 m
↓
↑
107.03 m
↓
S 69.489335°
E 96.108398°		 ← 107.02 m →
11 454 m²		 S 69.489335°
E 96.111145°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766971588134766 y=0.772098541259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766971588134766 × 217)
    floor (0.766971588134766 × 131072)
    floor (100528.5)     		tx = 100528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772098541259766 × 217)
    floor (0.772098541259766 × 131072)
    floor (101200.5)     		ty = 101200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100528 / 101200 ti = "17/100528/101200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100528/101200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100528 ÷ 217
    100528 ÷ 131072     		x = 0.7669677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101200 ÷ 217
    101200 ÷ 131072     		y = 0.7720947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7669677734375 × 2 - 1) × π
    0.533935546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.67740799
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7720947265625 × 2 - 1) × π
    -0.544189453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.70962158804968
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67740799} λ = 1.67740799}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70962158804968))-π/2
    2×atan(0.180934247345679)-π/2
    2×0.178997718295938-π/2
    0.357995436591876-1.57079632675     		φ = -1.21280089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67740799} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.108398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21280089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.488372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100528 KachelY 101200 1.67740799 -1.21280089 96.108398 -69.488372
    Oben rechts KachelX + 1 100529 KachelY 101200 1.67745593 -1.21280089 96.111145 -69.488372
    Unten links KachelX 100528 KachelY + 1 101201 1.67740799 -1.21281769 96.108398 -69.489335
    Unten rechts KachelX + 1 100529 KachelY + 1 101201 1.67745593 -1.21281769 96.111145 -69.489335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21280089--1.21281769) × R
    1.6800000000039e-05 × 6371000     		dl = 107.032800000248m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21280089--1.21281769) × R
    1.6800000000039e-05 × 6371000     		dr = 107.032800000248m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67740799-1.67745593) × cos(-1.21280089) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.350397462428099 × 6371000     		do = 107.020404256154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67740799-1.67745593) × cos(-1.21281769) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.350381727480191 × 6371000     		du = 107.015598398046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21280089)-sin(-1.21281769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350397462428099-0.350381727480191)×R²
    abs(1.67745593-1.67740799)×1.57349479076863e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57349479076863e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57349479076863e-05×40589641000000     		ar = 11454.4363327734m²