Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100528 / 100046
↖ ↑ ↗
← S 68.348567°
E 96.108398°		 ← 112.69 m → S 68.348567°
E 96.111145°		 →
↑
112.70 m
↓
↑
112.70 m
↓
S 68.349581°
E 96.108398°		 ← 112.68 m →
12 700 m²		 S 68.349581°
E 96.111145°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766971588134766 y=0.763294219970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766971588134766 × 217)
    floor (0.766971588134766 × 131072)
    floor (100528.5)     		tx = 100528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763294219970703 × 217)
    floor (0.763294219970703 × 131072)
    floor (100046.5)     		ty = 100046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100528 / 100046 ti = "17/100528/100046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100528/100046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100528 ÷ 217
    100528 ÷ 131072     		x = 0.7669677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100046 ÷ 217
    100046 ÷ 131072     		y = 0.763290405273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7669677734375 × 2 - 1) × π
    0.533935546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.67740799
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763290405273438 × 2 - 1) × π
    -0.526580810546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.65430240588814
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67740799} λ = 1.67740799}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65430240588814))-π/2
    2×atan(0.191225406905447)-π/2
    2×0.188944391286199-π/2
    0.377888782572399-1.57079632675     		φ = -1.19290754
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67740799} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.108398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19290754 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.348567°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100528 KachelY 100046 1.67740799 -1.19290754 96.108398 -68.348567
    Oben rechts KachelX + 1 100529 KachelY 100046 1.67745593 -1.19290754 96.111145 -68.348567
    Unten links KachelX 100528 KachelY + 1 100047 1.67740799 -1.19292523 96.108398 -68.349581
    Unten rechts KachelX + 1 100529 KachelY + 1 100047 1.67745593 -1.19292523 96.111145 -68.349581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19290754--1.19292523) × R
    1.76899999999591e-05 × 6371000     		dl = 112.70298999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19290754--1.19292523) × R
    1.76899999999591e-05 × 6371000     		dr = 112.70298999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67740799-1.67745593) × cos(-1.19290754) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.368959035190736 × 6371000     		do = 112.689586352743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67740799-1.67745593) × cos(-1.19292523) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.368942593239325 × 6371000     		du = 112.684564557566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19290754)-sin(-1.19292523))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368959035190736-0.368942593239325)×R²
    abs(1.67745593-1.67740799)×1.64419514115943e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64419514115943e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64419514115943e-05×40589641000000     		ar = 12700.170338504m²