Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100526 / 98698
↖ ↑ ↗
← S 66.940820°
E 96.102905°		 ← 119.60 m → S 66.940820°
E 96.105652°		 →
↑
119.65 m
↓
↑
119.65 m
↓
S 66.941896°
E 96.102905°		 ← 119.60 m →
14 310 m²		 S 66.941896°
E 96.105652°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766956329345703 y=0.753009796142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766956329345703 × 217)
    floor (0.766956329345703 × 131072)
    floor (100526.5)     		tx = 100526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753009796142578 × 217)
    floor (0.753009796142578 × 131072)
    floor (98698.5)     		ty = 98698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100526 / 98698 ti = "17/100526/98698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100526/98698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100526 ÷ 217
    100526 ÷ 131072     		x = 0.766952514648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98698 ÷ 217
    98698 ÷ 131072     		y = 0.753005981445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766952514648438 × 2 - 1) × π
    0.533905029296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.67731212
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753005981445312 × 2 - 1) × π
    -0.506011962890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.5896834652003
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67731212} λ = 1.67731212}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5896834652003))-π/2
    2×atan(0.203990171504045)-π/2
    2×0.201229302635607-π/2
    0.402458605271215-1.57079632675     		φ = -1.16833772
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67731212} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.102905°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16833772 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.940820°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100526 KachelY 98698 1.67731212 -1.16833772 96.102905 -66.940820
    Oben rechts KachelX + 1 100527 KachelY 98698 1.67736005 -1.16833772 96.105652 -66.940820
    Unten links KachelX 100526 KachelY + 1 98699 1.67731212 -1.16835650 96.102905 -66.941896
    Unten rechts KachelX + 1 100527 KachelY + 1 98699 1.67736005 -1.16835650 96.105652 -66.941896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16833772--1.16835650) × R
    1.8779999999996e-05 × 6371000     		dl = 119.647379999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16833772--1.16835650) × R
    1.8779999999996e-05 × 6371000     		dr = 119.647379999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67731212-1.67736005) × cos(-1.16833772) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.391681689878448 × 6371000     		do = 119.604715935186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67731212-1.67736005) × cos(-1.16835650) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.391664410316643 × 6371000     		du = 119.599439413116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16833772)-sin(-1.16835650))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391681689878448-0.391664410316643)×R²
    abs(1.67736005-1.67731212)×1.7279561804473e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.7279561804473e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.7279561804473e-05×40589641000000     		ar = 14310.0752367467m²