Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100524 / 100044
↖ ↑ ↗
← S 68.346541°
E 96.097412°		 ← 112.70 m → S 68.346541°
E 96.100159°		 →
↑
112.70 m
↓
↑
112.70 m
↓
S 68.347554°
E 96.097412°		 ← 112.69 m →
12 701 m²		 S 68.347554°
E 96.100159°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766941070556641 y=0.763278961181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766941070556641 × 217)
    floor (0.766941070556641 × 131072)
    floor (100524.5)     		tx = 100524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763278961181641 × 217)
    floor (0.763278961181641 × 131072)
    floor (100044.5)     		ty = 100044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100524 / 100044 ti = "17/100524/100044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100524/100044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100524 ÷ 217
    100524 ÷ 131072     		x = 0.766937255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100044 ÷ 217
    100044 ÷ 131072     		y = 0.763275146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766937255859375 × 2 - 1) × π
    0.53387451171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.67721624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763275146484375 × 2 - 1) × π
    -0.52655029296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6542065320889
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67721624} λ = 1.67721624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6542065320889))-π/2
    2×atan(0.191243741290597)-π/2
    2×0.188962078826294-π/2
    0.377924157652587-1.57079632675     		φ = -1.19287217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67721624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.097412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19287217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.346541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100524 KachelY 100044 1.67721624 -1.19287217 96.097412 -68.346541
    Oben rechts KachelX + 1 100525 KachelY 100044 1.67726418 -1.19287217 96.100159 -68.346541
    Unten links KachelX 100524 KachelY + 1 100045 1.67721624 -1.19288986 96.097412 -68.347554
    Unten rechts KachelX + 1 100525 KachelY + 1 100045 1.67726418 -1.19288986 96.100159 -68.347554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19287217--1.19288986) × R
    1.76899999999591e-05 × 6371000     		dl = 112.70298999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19287217--1.19288986) × R
    1.76899999999591e-05 × 6371000     		dr = 112.70298999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67721624-1.67726418) × cos(-1.19287217) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.368991909452847 × 6371000     		do = 112.699626999097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67721624-1.67726418) × cos(-1.19288986) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.368975467732296 × 6371000     		du = 112.694605274431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19287217)-sin(-1.19288986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368991909452847-0.368975467732296)×R²
    abs(1.67726418-1.67721624)×1.64417205504863e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.64417205504863e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.64417205504863e-05×40589641000000     		ar = 12701.3019534816m²