Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100522 / 98666
↖ ↑ ↗
← S 66.906371°
E 96.091919°		 ← 119.80 m → S 66.906371°
E 96.094666°		 →
↑
119.77 m
↓
↑
119.77 m
↓
S 66.907448°
E 96.091919°		 ← 119.79 m →
14 349 m²		 S 66.907448°
E 96.094666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766925811767578 y=0.752765655517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766925811767578 × 217)
    floor (0.766925811767578 × 131072)
    floor (100522.5)     		tx = 100522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752765655517578 × 217)
    floor (0.752765655517578 × 131072)
    floor (98666.5)     		ty = 98666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100522 / 98666 ti = "17/100522/98666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100522/98666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100522 ÷ 217
    100522 ÷ 131072     		x = 0.766921997070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98666 ÷ 217
    98666 ÷ 131072     		y = 0.752761840820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766921997070312 × 2 - 1) × π
    0.533843994140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.67712037
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752761840820312 × 2 - 1) × π
    -0.505523681640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.58814948441246
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67712037} λ = 1.67712037}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58814948441246))-π/2
    2×atan(0.204303328635145)-π/2
    2×0.201529930815994-π/2
    0.403059861631988-1.57079632675     		φ = -1.16773647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67712037} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.091919°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16773647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.906371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100522 KachelY 98666 1.67712037 -1.16773647 96.091919 -66.906371
    Oben rechts KachelX + 1 100523 KachelY 98666 1.67716831 -1.16773647 96.094666 -66.906371
    Unten links KachelX 100522 KachelY + 1 98667 1.67712037 -1.16775527 96.091919 -66.907448
    Unten rechts KachelX + 1 100523 KachelY + 1 98667 1.67716831 -1.16775527 96.094666 -66.907448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16773647--1.16775527) × R
    1.88000000000965e-05 × 6371000     		dl = 119.774800000615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16773647--1.16775527) × R
    1.88000000000965e-05 × 6371000     		dr = 119.774800000615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67712037-1.67716831) × cos(-1.16773647) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.392234829645086 × 6371000     		do = 119.798613098601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67712037-1.67716831) × cos(-1.16775527) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.392217536111521 × 6371000     		du = 119.793331208314m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16773647)-sin(-1.16775527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392234829645086-0.392217536111521)×R²
    abs(1.67716831-1.67712037)×1.72935335648883e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.72935335648883e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.72935335648883e-05×40589641000000     		ar = 14348.5386059842m²