Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100520 / 101560
↖ ↑ ↗
← S 69.832048°
E 96.086426°		 ← 105.28 m → S 69.832048°
E 96.089172°		 →
↑
105.25 m
↓
↑
105.25 m
↓
S 69.832994°
E 96.086426°		 ← 105.28 m →
11 080 m²		 S 69.832994°
E 96.089172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766910552978516 y=0.774845123291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766910552978516 × 217)
    floor (0.766910552978516 × 131072)
    floor (100520.5)     		tx = 100520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774845123291016 × 217)
    floor (0.774845123291016 × 131072)
    floor (101560.5)     		ty = 101560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100520 / 101560 ti = "17/100520/101560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100520/101560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100520 ÷ 217
    100520 ÷ 131072     		x = 0.76690673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101560 ÷ 217
    101560 ÷ 131072     		y = 0.77484130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76690673828125 × 2 - 1) × π
    0.5338134765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.67702450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77484130859375 × 2 - 1) × π
    -0.5496826171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.7268788719129
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67702450} λ = 1.67702450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7268788719129))-π/2
    2×atan(0.177838601723077)-π/2
    2×0.175998585336715-π/2
    0.351997170673429-1.57079632675     		φ = -1.21879916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67702450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.086426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21879916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.832048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100520 KachelY 101560 1.67702450 -1.21879916 96.086426 -69.832048
    Oben rechts KachelX + 1 100521 KachelY 101560 1.67707243 -1.21879916 96.089172 -69.832048
    Unten links KachelX 100520 KachelY + 1 101561 1.67702450 -1.21881568 96.086426 -69.832994
    Unten rechts KachelX + 1 100521 KachelY + 1 101561 1.67707243 -1.21881568 96.089172 -69.832994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21879916--1.21881568) × R
    1.65199999999643e-05 × 6371000     		dl = 105.248919999773m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21879916--1.21881568) × R
    1.65199999999643e-05 × 6371000     		dr = 105.248919999773m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67702450-1.67707243) × cos(-1.21879916) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.344773206344636 × 6371000     		do = 105.280646179072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67702450-1.67707243) × cos(-1.21881568) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.344757699204611 × 6371000     		du = 105.275910887314m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21879916)-sin(-1.21881568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344773206344636-0.344757699204611)×R²
    abs(1.67707243-1.67702450)×1.55071400257389e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.55071400257389e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.55071400257389e-05×40589641000000     		ar = 11080.4251153144m²