Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100517 / 101555
↖ ↑ ↗
← S 69.827312°
E 96.078186°		 ← 105.30 m → S 69.827312°
E 96.080932°		 →
↑
105.31 m
↓
↑
105.31 m
↓
S 69.828260°
E 96.078186°		 ← 105.30 m →
11 090 m²		 S 69.828260°
E 96.080932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100517 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766887664794922 y=0.774806976318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766887664794922 × 217)
    floor (0.766887664794922 × 131072)
    floor (100517.5)     		tx = 100517
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774806976318359 × 217)
    floor (0.774806976318359 × 131072)
    floor (101555.5)     		ty = 101555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100517 / 101555 ti = "17/100517/101555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100517/101555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100517 ÷ 217
    100517 ÷ 131072     		x = 0.766883850097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101555 ÷ 217
    101555 ÷ 131072     		y = 0.774803161621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766883850097656 × 2 - 1) × π
    0.533767700195312 × 3.1415926535     		Λ = 1.67688069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774803161621094 × 2 - 1) × π
    -0.549606323242188 × 3.1415926535     		Φ = -1.7266391874148
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67688069} λ = 1.67688069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7266391874148))-π/2
    2×atan(0.177881231987777)-π/2
    2×0.176039908381995-π/2
    0.35207981676399-1.57079632675     		φ = -1.21871651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67688069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.078186°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21871651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.827312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100517 KachelY 101555 1.67688069 -1.21871651 96.078186 -69.827312
    Oben rechts KachelX + 1 100518 KachelY 101555 1.67692862 -1.21871651 96.080932 -69.827312
    Unten links KachelX 100517 KachelY + 1 101556 1.67688069 -1.21873304 96.078186 -69.828260
    Unten rechts KachelX + 1 100518 KachelY + 1 101556 1.67692862 -1.21873304 96.080932 -69.828260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21871651--1.21873304) × R
    1.65300000001256e-05 × 6371000     		dl = 105.3126300008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21871651--1.21873304) × R
    1.65300000001256e-05 × 6371000     		dr = 105.3126300008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67688069-1.67692862) × cos(-1.21871651) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.344850787566174 × 6371000     		do = 105.30433653837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67688069-1.67692862) × cos(-1.21873304) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.344835271510304 × 6371000     		du = 105.299598524052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21871651)-sin(-1.21873304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344850787566174-0.344835271510304)×R²
    abs(1.67692862-1.67688069)×1.5516055869913e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.5516055869913e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.5516055869913e-05×40589641000000     		ar = 11089.6271452664m²