Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100516 / 98652
↖ ↑ ↗
← S 66.891284°
E 96.075440°		 ← 119.87 m → S 66.891284°
E 96.078186°		 →
↑
119.84 m
↓
↑
119.84 m
↓
S 66.892362°
E 96.075440°		 ← 119.87 m →
14 365 m²		 S 66.892362°
E 96.078186°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98652 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766880035400391 y=0.752658843994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766880035400391 × 217)
    floor (0.766880035400391 × 131072)
    floor (100516.5)     		tx = 100516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752658843994141 × 217)
    floor (0.752658843994141 × 131072)
    floor (98652.5)     		ty = 98652
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100516 / 98652 ti = "17/100516/98652"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100516/98652.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100516 ÷ 217
    100516 ÷ 131072     		x = 0.766876220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98652 ÷ 217
    98652 ÷ 131072     		y = 0.752655029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766876220703125 × 2 - 1) × π
    0.53375244140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.67683275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752655029296875 × 2 - 1) × π
    -0.50531005859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.58747836781778
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67683275} λ = 1.67683275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58747836781778))-π/2
    2×atan(0.204440486008487)-π/2
    2×0.201661589102127-π/2
    0.403323178204254-1.57079632675     		φ = -1.16747315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67683275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.075440°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16747315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.891284°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100516 KachelY 98652 1.67683275 -1.16747315 96.075440 -66.891284
    Oben rechts KachelX + 1 100517 KachelY 98652 1.67688069 -1.16747315 96.078186 -66.891284
    Unten links KachelX 100516 KachelY + 1 98653 1.67683275 -1.16749196 96.075440 -66.892362
    Unten rechts KachelX + 1 100517 KachelY + 1 98653 1.67688069 -1.16749196 96.078186 -66.892362
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16747315--1.16749196) × R
    1.88100000000357e-05 × 6371000     		dl = 119.838510000228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16747315--1.16749196) × R
    1.88100000000357e-05 × 6371000     		dr = 119.838510000228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67683275-1.67688069) × cos(-1.16747315) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.392477034927326 × 6371000     		do = 119.872588825606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67683275-1.67688069) × cos(-1.16749196) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.392459734138352 × 6371000     		du = 119.867304719331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16747315)-sin(-1.16749196))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392477034927326-0.392459734138352)×R²
    abs(1.67688069-1.67683275)×1.73007889743837e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.73007889743837e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.73007889743837e-05×40589641000000     		ar = 14365.0358156248m²