Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100515 / 98854
↖ ↑ ↗
← S 67.108067°
E 96.072693°		 ← 118.81 m → S 67.108067°
E 96.075440°		 →
↑
118.82 m
↓
↑
118.82 m
↓
S 67.109135°
E 96.072693°		 ← 118.80 m →
14 116 m²		 S 67.109135°
E 96.075440°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100515 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98854 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766872406005859 y=0.754199981689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766872406005859 × 217)
    floor (0.766872406005859 × 131072)
    floor (100515.5)     		tx = 100515
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754199981689453 × 217)
    floor (0.754199981689453 × 131072)
    floor (98854.5)     		ty = 98854
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100515 / 98854 ti = "17/100515/98854"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100515/98854.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100515 ÷ 217
    100515 ÷ 131072     		x = 0.766868591308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98854 ÷ 217
    98854 ÷ 131072     		y = 0.754196166992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766868591308594 × 2 - 1) × π
    0.533737182617188 × 3.1415926535     		Λ = 1.67678481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754196166992188 × 2 - 1) × π
    -0.508392333984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.59716162154103
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67678481} λ = 1.67678481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59716162154103))-π/2
    2×atan(0.202470390771057)-π/2
    2×0.19976980318392-π/2
    0.39953960636784-1.57079632675     		φ = -1.17125672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67678481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.072693°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17125672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.108067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100515 KachelY 98854 1.67678481 -1.17125672 96.072693 -67.108067
    Oben rechts KachelX + 1 100516 KachelY 98854 1.67683275 -1.17125672 96.075440 -67.108067
    Unten links KachelX 100515 KachelY + 1 98855 1.67678481 -1.17127537 96.072693 -67.109135
    Unten rechts KachelX + 1 100516 KachelY + 1 98855 1.67683275 -1.17127537 96.075440 -67.109135
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17125672--1.17127537) × R
    1.865000000012e-05 × 6371000     		dl = 118.819150000764m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17125672--1.17127537) × R
    1.865000000012e-05 × 6371000     		dr = 118.819150000764m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67678481-1.67683275) × cos(-1.17125672) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.388994250829581 × 6371000     		do = 118.808856915292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67678481-1.67683275) × cos(-1.17127537) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.388977069632538 × 6371000     		du = 118.803609335471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17125672)-sin(-1.17127537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388994250829581-0.388977069632538)×R²
    abs(1.67683275-1.67678481)×1.71811970427482e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.71811970427482e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.71811970427482e-05×40589641000000     		ar = 14116.4556351574m²