Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100514 / 101410
↖ ↑ ↗
← S 69.689525°
E 96.069946°		 ← 106.02 m → S 69.689525°
E 96.072693°		 →
↑
106.01 m
↓
↑
106.01 m
↓
S 69.690479°
E 96.069946°		 ← 106.01 m →
11 239 m²		 S 69.690479°
E 96.072693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766864776611328 y=0.773700714111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766864776611328 × 217)
    floor (0.766864776611328 × 131072)
    floor (100514.5)     		tx = 100514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773700714111328 × 217)
    floor (0.773700714111328 × 131072)
    floor (101410.5)     		ty = 101410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100514 / 101410 ti = "17/100514/101410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100514/101410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100514 ÷ 217
    100514 ÷ 131072     		x = 0.766860961914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101410 ÷ 217
    101410 ÷ 131072     		y = 0.773696899414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766860961914062 × 2 - 1) × π
    0.533721923828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.67673687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773696899414062 × 2 - 1) × π
    -0.547393798828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.71968833696989
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67673687} λ = 1.67673687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71968833696989))-π/2
    2×atan(0.179121964907336)-π/2
    2×0.177242328664547-π/2
    0.354484657329095-1.57079632675     		φ = -1.21631167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67673687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.069946°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21631167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.689525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100514 KachelY 101410 1.67673687 -1.21631167 96.069946 -69.689525
    Oben rechts KachelX + 1 100515 KachelY 101410 1.67678481 -1.21631167 96.072693 -69.689525
    Unten links KachelX 100514 KachelY + 1 101411 1.67673687 -1.21632831 96.069946 -69.690479
    Unten rechts KachelX + 1 100515 KachelY + 1 101411 1.67678481 -1.21632831 96.072693 -69.690479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21631167--1.21632831) × R
    1.66399999999012e-05 × 6371000     		dl = 106.01343999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21631167--1.21632831) × R
    1.66399999999012e-05 × 6371000     		dr = 106.01343999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67673687-1.67678481) × cos(-1.21631167) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.347107109354087 × 6371000     		do = 106.015445733663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67673687-1.67678481) × cos(-1.21632831) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.347091503889835 × 6371000     		du = 106.010679423196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21631167)-sin(-1.21632831))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347107109354087-0.347091503889835)×R²
    abs(1.67678481-1.67673687)×1.56054642517778e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56054642517778e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56054642517778e-05×40589641000000     		ar = 11238.8094490872m²