Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100513 / 98645
↖ ↑ ↗
← S 66.883737°
E 96.067200°		 ← 119.88 m → S 66.883737°
E 96.069946°		 →
↑
119.90 m
↓
↑
119.90 m
↓
S 66.884815°
E 96.067200°		 ← 119.88 m →
14 374 m²		 S 66.884815°
E 96.069946°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766857147216797 y=0.752605438232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766857147216797 × 217)
    floor (0.766857147216797 × 131072)
    floor (100513.5)     		tx = 100513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752605438232422 × 217)
    floor (0.752605438232422 × 131072)
    floor (98645.5)     		ty = 98645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100513 / 98645 ti = "17/100513/98645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100513/98645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100513 ÷ 217
    100513 ÷ 131072     		x = 0.766853332519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98645 ÷ 217
    98645 ÷ 131072     		y = 0.752601623535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766853332519531 × 2 - 1) × π
    0.533706665039062 × 3.1415926535     		Λ = 1.67668894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752601623535156 × 2 - 1) × π
    -0.505203247070312 × 3.1415926535     		Φ = -1.58714280952044
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67668894} λ = 1.67668894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58714280952044))-π/2
    2×atan(0.204509099221102)-π/2
    2×0.201727448727674-π/2
    0.403454897455349-1.57079632675     		φ = -1.16734143
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67668894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.067200°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16734143 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.883737°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100513 KachelY 98645 1.67668894 -1.16734143 96.067200 -66.883737
    Oben rechts KachelX + 1 100514 KachelY 98645 1.67673687 -1.16734143 96.069946 -66.883737
    Unten links KachelX 100513 KachelY + 1 98646 1.67668894 -1.16736025 96.067200 -66.884815
    Unten rechts KachelX + 1 100514 KachelY + 1 98646 1.67673687 -1.16736025 96.069946 -66.884815
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16734143--1.16736025) × R
    1.8819999999975e-05 × 6371000     		dl = 119.902219999841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16734143--1.16736025) × R
    1.8819999999975e-05 × 6371000     		dr = 119.902219999841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67668894-1.67673687) × cos(-1.16734143) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.392598182547098 × 6371000     		do = 119.884577996966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67668894-1.67673687) × cos(-1.16736025) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.392580873533499 × 6371000     		du = 119.879292481436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16734143)-sin(-1.16736025))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392598182547098-0.392580873533499)×R²
    abs(1.67673687-1.67668894)×1.73090135985321e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.73090135985321e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.73090135985321e-05×40589641000000     		ar = 14374.1101734002m²