Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100511 / 98651
↖ ↑ ↗
← S 66.890206°
E 96.061706°		 ← 119.88 m → S 66.890206°
E 96.064453°		 →
↑
119.90 m
↓
↑
119.90 m
↓
S 66.891284°
E 96.061706°		 ← 119.87 m →
14 373 m²		 S 66.891284°
E 96.064453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98651 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766841888427734 y=0.752651214599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766841888427734 × 217)
    floor (0.766841888427734 × 131072)
    floor (100511.5)     		tx = 100511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752651214599609 × 217)
    floor (0.752651214599609 × 131072)
    floor (98651.5)     		ty = 98651
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100511 / 98651 ti = "17/100511/98651"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100511/98651.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100511 ÷ 217
    100511 ÷ 131072     		x = 0.766838073730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98651 ÷ 217
    98651 ÷ 131072     		y = 0.752647399902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766838073730469 × 2 - 1) × π
    0.533676147460938 × 3.1415926535     		Λ = 1.67659306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752647399902344 × 2 - 1) × π
    -0.505294799804688 × 3.1415926535     		Φ = -1.58743043091816
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67659306} λ = 1.67659306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58743043091816))-π/2
    2×atan(0.204450286486443)-π/2
    2×0.201670996375655-π/2
    0.403341992751311-1.57079632675     		φ = -1.16745433
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67659306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.061706°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16745433 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.890206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100511 KachelY 98651 1.67659306 -1.16745433 96.061706 -66.890206
    Oben rechts KachelX + 1 100512 KachelY 98651 1.67664100 -1.16745433 96.064453 -66.890206
    Unten links KachelX 100511 KachelY + 1 98652 1.67659306 -1.16747315 96.061706 -66.891284
    Unten rechts KachelX + 1 100512 KachelY + 1 98652 1.67664100 -1.16747315 96.064453 -66.891284
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16745433--1.16747315) × R
    1.8819999999975e-05 × 6371000     		dl = 119.902219999841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16745433--1.16747315) × R
    1.8819999999975e-05 × 6371000     		dr = 119.902219999841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67659306-1.67664100) × cos(-1.16745433) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.39249434477498 × 6371000     		do = 119.877875698635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67659306-1.67664100) × cos(-1.16747315) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.392477034927326 × 6371000     		du = 119.872588825606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16745433)-sin(-1.16747315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39249434477498-0.392477034927326)×R²
    abs(1.67664100-1.67659306)×1.73098476538569e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.73098476538569e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.73098476538569e-05×40589641000000     		ar = 14373.306471462m²