Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100510 / 98649
↖ ↑ ↗
← S 66.888050°
E 96.058960°		 ← 119.86 m → S 66.888050°
E 96.061706°		 →
↑
119.90 m
↓
↑
119.90 m
↓
S 66.889128°
E 96.058960°		 ← 119.86 m →
14 372 m²		 S 66.889128°
E 96.061706°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98649 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766834259033203 y=0.752635955810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766834259033203 × 217)
    floor (0.766834259033203 × 131072)
    floor (100510.5)     		tx = 100510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752635955810547 × 217)
    floor (0.752635955810547 × 131072)
    floor (98649.5)     		ty = 98649
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100510 / 98649 ti = "17/100510/98649"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100510/98649.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100510 ÷ 217
    100510 ÷ 131072     		x = 0.766830444335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98649 ÷ 217
    98649 ÷ 131072     		y = 0.752632141113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766830444335938 × 2 - 1) × π
    0.533660888671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.67654513
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752632141113281 × 2 - 1) × π
    -0.505264282226562 × 3.1415926535     		Φ = -1.58733455711892
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67654513} λ = 1.67654513}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58733455711892))-π/2
    2×atan(0.204469888851826)-π/2
    2×0.201689812167059-π/2
    0.403379624334118-1.57079632675     		φ = -1.16741670
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67654513} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.058960°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16741670 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.888050°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100510 KachelY 98649 1.67654513 -1.16741670 96.058960 -66.888050
    Oben rechts KachelX + 1 100511 KachelY 98649 1.67659306 -1.16741670 96.061706 -66.888050
    Unten links KachelX 100510 KachelY + 1 98650 1.67654513 -1.16743552 96.058960 -66.889128
    Unten rechts KachelX + 1 100511 KachelY + 1 98650 1.67659306 -1.16743552 96.061706 -66.889128
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16741670--1.16743552) × R
    1.8819999999975e-05 × 6371000     		dl = 119.902219999841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16741670--1.16743552) × R
    1.8819999999975e-05 × 6371000     		dr = 119.902219999841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67654513-1.67659306) × cos(-1.16741670) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.39252895485583 × 6371000     		do = 119.863438488628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67654513-1.67659306) × cos(-1.16743552) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.392511645286145 × 6371000     		du = 119.858152803291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16741670)-sin(-1.16743552))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39252895485583-0.392511645286145)×R²
    abs(1.67659306-1.67654513)×1.73095696845982e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.73095696845982e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.73095696845982e-05×40589641000000     		ar = 14371.5754892703m²