Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100510 / 97396
↖ ↑ ↗
← S 65.499298°
E 96.058960°		 ← 126.63 m → S 65.499298°
E 96.061706°		 →
↑
126.66 m
↓
↑
126.66 m
↓
S 65.500437°
E 96.058960°		 ← 126.63 m →
16 039 m²		 S 65.500437°
E 96.061706°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97396 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766834259033203 y=0.743076324462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766834259033203 × 217)
    floor (0.766834259033203 × 131072)
    floor (100510.5)     		tx = 100510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743076324462891 × 217)
    floor (0.743076324462891 × 131072)
    floor (97396.5)     		ty = 97396
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100510 / 97396 ti = "17/100510/97396"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100510/97396.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100510 ÷ 217
    100510 ÷ 131072     		x = 0.766830444335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97396 ÷ 217
    97396 ÷ 131072     		y = 0.743072509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766830444335938 × 2 - 1) × π
    0.533660888671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.67654513
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743072509765625 × 2 - 1) × π
    -0.48614501953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.52726962189499
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67654513} λ = 1.67654513}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52726962189499))-π/2
    2×atan(0.217127699428962)-π/2
    2×0.213808960404955-π/2
    0.42761792080991-1.57079632675     		φ = -1.14317841
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67654513} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.058960°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14317841 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.499298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100510 KachelY 97396 1.67654513 -1.14317841 96.058960 -65.499298
    Oben rechts KachelX + 1 100511 KachelY 97396 1.67659306 -1.14317841 96.061706 -65.499298
    Unten links KachelX 100510 KachelY + 1 97397 1.67654513 -1.14319829 96.058960 -65.500437
    Unten rechts KachelX + 1 100511 KachelY + 1 97397 1.67659306 -1.14319829 96.061706 -65.500437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14317841--1.14319829) × R
    1.98799999999721e-05 × 6371000     		dl = 126.655479999823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14317841--1.14319829) × R
    1.98799999999721e-05 × 6371000     		dr = 126.655479999823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67654513-1.67659306) × cos(-1.14317841) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.41470438970191 × 6371000     		do = 126.634974289364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67654513-1.67659306) × cos(-1.14319829) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.414686299690889 × 6371000     		du = 126.629450286876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14317841)-sin(-1.14319829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41470438970191-0.414686299690889)×R²
    abs(1.67659306-1.67654513)×1.80900110203219e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.80900110203219e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.80900110203219e-05×40589641000000     		ar = 16038.6636312638m²