Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10051 / 14268
↖ ↑ ↗
← N 70.736230°
W124.788208°		 ← 201.53 m → N 70.736230°
W124.782715°		 →
↑
201.51 m
↓
↑
201.51 m
↓
N 70.734418°
W124.788208°		 ← 201.55 m →
40 613 m²		 N 70.734418°
W124.782715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.153373718261719 y=0.217720031738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.153373718261719 × 216)
    floor (0.153373718261719 × 65536)
    floor (10051.5)     		tx = 10051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217720031738281 × 216)
    floor (0.217720031738281 × 65536)
    floor (14268.5)     		ty = 14268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10051 / 14268 ti = "16/10051/14268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10051/14268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10051 ÷ 216
    10051 ÷ 65536     		x = 0.153366088867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14268 ÷ 216
    14268 ÷ 65536     		y = 0.21771240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.153366088867188 × 2 - 1) × π
    -0.693267822265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.17796510
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21771240234375 × 2 - 1) × π
    0.5645751953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.77366528594208
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.17796510} λ = -2.17796510}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77366528594208))-π/2
    2×atan(5.89241120136542)-π/2
    2×1.40268821983004-π/2
    2.80537643966008-1.57079632675     		φ = 1.23458011
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.17796510} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -124.788208°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23458011 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.736230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10051 KachelY 14268 -2.17796510 1.23458011 -124.788208 70.736230
    Oben rechts KachelX + 1 10052 KachelY 14268 -2.17786922 1.23458011 -124.782715 70.736230
    Unten links KachelX 10051 KachelY + 1 14269 -2.17796510 1.23454848 -124.788208 70.734418
    Unten rechts KachelX + 1 10052 KachelY + 1 14269 -2.17786922 1.23454848 -124.782715 70.734418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23458011-1.23454848) × R
    3.16300000000602e-05 × 6371000     		dl = 201.514730000384m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23458011-1.23454848) × R
    3.16300000000602e-05 × 6371000     		dr = 201.514730000384m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.17796510--2.17786922) × cos(1.23458011) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.329917534115683 × 6371000     		do = 201.530613993317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.17796510--2.17786922) × cos(1.23454848) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.329947392979248 × 6371000     		du = 201.548853324316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23458011)-sin(1.23454848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329917534115683-0.329947392979248)×R²
    abs(-2.17786922--2.17796510)×2.98588635643249e-05×R²
    9.58800000003812e-05×2.98588635643249e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×2.98588635643249e-05×40589641000000     		ar = 40613.2250158862m²