Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100509 / 98640
↖ ↑ ↗
← S 66.878345°
E 96.056213°		 ← 119.94 m → S 66.878345°
E 96.058960°		 →
↑
119.90 m
↓
↑
119.90 m
↓
S 66.879423°
E 96.056213°		 ← 119.93 m →
14 380 m²		 S 66.879423°
E 96.058960°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766826629638672 y=0.752567291259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766826629638672 × 217)
    floor (0.766826629638672 × 131072)
    floor (100509.5)     		tx = 100509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752567291259766 × 217)
    floor (0.752567291259766 × 131072)
    floor (98640.5)     		ty = 98640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100509 / 98640 ti = "17/100509/98640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100509/98640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100509 ÷ 217
    100509 ÷ 131072     		x = 0.766822814941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98640 ÷ 217
    98640 ÷ 131072     		y = 0.7525634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766822814941406 × 2 - 1) × π
    0.533645629882812 × 3.1415926535     		Λ = 1.67649719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7525634765625 × 2 - 1) × π
    -0.505126953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.58690312502234
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67649719} λ = 1.67649719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58690312502234))-π/2
    2×atan(0.204558122756762)-π/2
    2×0.201774503763069-π/2
    0.403549007526137-1.57079632675     		φ = -1.16724732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67649719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.056213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16724732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.878345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100509 KachelY 98640 1.67649719 -1.16724732 96.056213 -66.878345
    Oben rechts KachelX + 1 100510 KachelY 98640 1.67654513 -1.16724732 96.058960 -66.878345
    Unten links KachelX 100509 KachelY + 1 98641 1.67649719 -1.16726614 96.056213 -66.879423
    Unten rechts KachelX + 1 100510 KachelY + 1 98641 1.67654513 -1.16726614 96.058960 -66.879423
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16724732--1.16726614) × R
    1.8819999999975e-05 × 6371000     		dl = 119.902219999841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16724732--1.16726614) × R
    1.8819999999975e-05 × 6371000     		dr = 119.902219999841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67649719-1.67654513) × cos(-1.16724732) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.39268473472587 × 6371000     		do = 119.936025690274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67649719-1.67654513) × cos(-1.16726614) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.392667426407683 × 6371000     		du = 119.930739284384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16724732)-sin(-1.16726614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39268473472587-0.392667426407683)×R²
    abs(1.67654513-1.67649719)×1.73083181868594e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.73083181868594e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.73083181868594e-05×40589641000000     		ar = 14380.2788126778m²