Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100508 / 97393
↖ ↑ ↗
← S 65.495880°
E 96.053467°		 ← 126.68 m → S 65.495880°
E 96.056213°		 →
↑
126.66 m
↓
↑
126.66 m
↓
S 65.497019°
E 96.053467°		 ← 126.67 m →
16 044 m²		 S 65.497019°
E 96.056213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766819000244141 y=0.743053436279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766819000244141 × 217)
    floor (0.766819000244141 × 131072)
    floor (100508.5)     		tx = 100508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743053436279297 × 217)
    floor (0.743053436279297 × 131072)
    floor (97393.5)     		ty = 97393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100508 / 97393 ti = "17/100508/97393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100508/97393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100508 ÷ 217
    100508 ÷ 131072     		x = 0.766815185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97393 ÷ 217
    97393 ÷ 131072     		y = 0.743049621582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766815185546875 × 2 - 1) × π
    0.53363037109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.67644925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743049621582031 × 2 - 1) × π
    -0.486099243164062 × 3.1415926535     		Φ = -1.52712581119613
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67644925} λ = 1.67644925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52712581119613))-π/2
    2×atan(0.217158926960531)-π/2
    2×0.213838781820446-π/2
    0.427677563640891-1.57079632675     		φ = -1.14311876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67644925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.053467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14311876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.495880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100508 KachelY 97393 1.67644925 -1.14311876 96.053467 -65.495880
    Oben rechts KachelX + 1 100509 KachelY 97393 1.67649719 -1.14311876 96.056213 -65.495880
    Unten links KachelX 100508 KachelY + 1 97394 1.67644925 -1.14313864 96.053467 -65.497019
    Unten rechts KachelX + 1 100509 KachelY + 1 97394 1.67649719 -1.14313864 96.056213 -65.497019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14311876--1.14313864) × R
    1.98800000001942e-05 × 6371000     		dl = 126.655480001237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14311876--1.14313864) × R
    1.98800000001942e-05 × 6371000     		dr = 126.655480001237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67644925-1.67649719) × cos(-1.14311876) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.414758667850874 × 6371000     		do = 126.677973050271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67644925-1.67649719) × cos(-1.14313864) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.414740578331649 × 6371000     		du = 126.672448045475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14311876)-sin(-1.14313864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414758667850874-0.414740578331649)×R²
    abs(1.67649719-1.67644925)×1.80895192251618e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.80895192251618e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.80895192251618e-05×40589641000000     		ar = 16044.109596536m²