Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100502 / 98654
↖ ↑ ↗
← S 66.893440°
E 96.036987°		 ← 119.86 m → S 66.893440°
E 96.039734°		 →
↑
119.84 m
↓
↑
119.84 m
↓
S 66.894518°
E 96.036987°		 ← 119.86 m →
14 364 m²		 S 66.894518°
E 96.039734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766773223876953 y=0.752674102783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766773223876953 × 217)
    floor (0.766773223876953 × 131072)
    floor (100502.5)     		tx = 100502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752674102783203 × 217)
    floor (0.752674102783203 × 131072)
    floor (98654.5)     		ty = 98654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100502 / 98654 ti = "17/100502/98654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100502/98654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100502 ÷ 217
    100502 ÷ 131072     		x = 0.766769409179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98654 ÷ 217
    98654 ÷ 131072     		y = 0.752670288085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766769409179688 × 2 - 1) × π
    0.533538818359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.67616163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752670288085938 × 2 - 1) × π
    -0.505340576171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.58757424161702
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67616163} λ = 1.67616163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58757424161702))-π/2
    2×atan(0.204420886461931)-π/2
    2×0.201642775799344-π/2
    0.403285551598687-1.57079632675     		φ = -1.16751078
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67616163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.036987°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16751078 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.893440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100502 KachelY 98654 1.67616163 -1.16751078 96.036987 -66.893440
    Oben rechts KachelX + 1 100503 KachelY 98654 1.67620957 -1.16751078 96.039734 -66.893440
    Unten links KachelX 100502 KachelY + 1 98655 1.67616163 -1.16752959 96.036987 -66.894518
    Unten rechts KachelX + 1 100503 KachelY + 1 98655 1.67620957 -1.16752959 96.039734 -66.894518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16751078--1.16752959) × R
    1.88100000000357e-05 × 6371000     		dl = 119.838510000228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16751078--1.16752959) × R
    1.88100000000357e-05 × 6371000     		dr = 119.838510000228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67616163-1.67620957) × cos(-1.16751078) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.392442424012753 × 6371000     		do = 119.86201776141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67616163-1.67620957) × cos(-1.16752959) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.392425122945994 × 6371000     		du = 119.856733570293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16751078)-sin(-1.16752959))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392442424012753-0.392425122945994)×R²
    abs(1.67620957-1.67616163)×1.73010667592344e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.73010667592344e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.73010667592344e-05×40589641000000     		ar = 14363.768989786m²