Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100502 / 97390
↖ ↑ ↗
← S 65.492463°
E 96.036987°		 ← 126.69 m → S 65.492463°
E 96.039734°		 →
↑
126.72 m
↓
↑
126.72 m
↓
S 65.493602°
E 96.036987°		 ← 126.69 m →
16 054 m²		 S 65.493602°
E 96.039734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766773223876953 y=0.743030548095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766773223876953 × 217)
    floor (0.766773223876953 × 131072)
    floor (100502.5)     		tx = 100502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743030548095703 × 217)
    floor (0.743030548095703 × 131072)
    floor (97390.5)     		ty = 97390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100502 / 97390 ti = "17/100502/97390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100502/97390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100502 ÷ 217
    100502 ÷ 131072     		x = 0.766769409179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97390 ÷ 217
    97390 ÷ 131072     		y = 0.743026733398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766769409179688 × 2 - 1) × π
    0.533538818359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.67616163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743026733398438 × 2 - 1) × π
    -0.486053466796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.52698200049727
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67616163} λ = 1.67616163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52698200049727))-π/2
    2×atan(0.217190158983277)-π/2
    2×0.213868607138559-π/2
    0.427737214277118-1.57079632675     		φ = -1.14305911
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67616163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.036987°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14305911 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.492463°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100502 KachelY 97390 1.67616163 -1.14305911 96.036987 -65.492463
    Oben rechts KachelX + 1 100503 KachelY 97390 1.67620957 -1.14305911 96.039734 -65.492463
    Unten links KachelX 100502 KachelY + 1 97391 1.67616163 -1.14307900 96.036987 -65.493602
    Unten rechts KachelX + 1 100503 KachelY + 1 97391 1.67620957 -1.14307900 96.039734 -65.493602
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14305911--1.14307900) × R
    1.98899999999114e-05 × 6371000     		dl = 126.719189999435m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14305911--1.14307900) × R
    1.98899999999114e-05 × 6371000     		dr = 126.719189999435m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67616163-1.67620957) × cos(-1.14305911) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.414812944524076 × 6371000     		do = 126.694550542762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67616163-1.67620957) × cos(-1.14307900) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.414794846397561 × 6371000     		du = 126.689022909078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14305911)-sin(-1.14307900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414812944524076-0.414794846397561)×R²
    abs(1.67620957-1.67616163)×1.80981265147651e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.80981265147651e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.80981265147651e-05×40589641000000     		ar = 16054.2805939976m²