Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100501 / 97391
↖ ↑ ↗
← S 65.493602°
E 96.034241°		 ← 126.66 m → S 65.493602°
E 96.036987°		 →
↑
126.66 m
↓
↑
126.66 m
↓
S 65.494741°
E 96.034241°		 ← 126.66 m →
16 042 m²		 S 65.494741°
E 96.036987°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766765594482422 y=0.743038177490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766765594482422 × 217)
    floor (0.766765594482422 × 131072)
    floor (100501.5)     		tx = 100501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743038177490234 × 217)
    floor (0.743038177490234 × 131072)
    floor (97391.5)     		ty = 97391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100501 / 97391 ti = "17/100501/97391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100501/97391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100501 ÷ 217
    100501 ÷ 131072     		x = 0.766761779785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97391 ÷ 217
    97391 ÷ 131072     		y = 0.743034362792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766761779785156 × 2 - 1) × π
    0.533523559570312 × 3.1415926535     		Λ = 1.67611370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743034362792969 × 2 - 1) × π
    -0.486068725585938 × 3.1415926535     		Φ = -1.52702993739689
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67611370} λ = 1.67611370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52702993739689))-π/2
    2×atan(0.217179747809969)-π/2
    2×0.213858664932205-π/2
    0.42771732986441-1.57079632675     		φ = -1.14307900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67611370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.034241°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14307900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.493602°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100501 KachelY 97391 1.67611370 -1.14307900 96.034241 -65.493602
    Oben rechts KachelX + 1 100502 KachelY 97391 1.67616163 -1.14307900 96.036987 -65.493602
    Unten links KachelX 100501 KachelY + 1 97392 1.67611370 -1.14309888 96.034241 -65.494741
    Unten rechts KachelX + 1 100502 KachelY + 1 97392 1.67616163 -1.14309888 96.036987 -65.494741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14307900--1.14309888) × R
    1.98799999999721e-05 × 6371000     		dl = 126.655479999823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14307900--1.14309888) × R
    1.98799999999721e-05 × 6371000     		dr = 126.655479999823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67611370-1.67616163) × cos(-1.14307900) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.414794846397561 × 6371000     		do = 126.662596329575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67611370-1.67616163) × cos(-1.14309888) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.41477675720618 × 6371000     		du = 126.657072577374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14307900)-sin(-1.14309888))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414794846397561-0.41477675720618)×R²
    abs(1.67616163-1.67611370)×1.80891913806325e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.80891913806325e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.80891913806325e-05×40589641000000     		ar = 16042.1621299534m²