Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100498 / 97392
↖ ↑ ↗
← S 65.494741°
E 96.026001°		 ← 126.68 m → S 65.494741°
E 96.028747°		 →
↑
126.66 m
↓
↑
126.66 m
↓
S 65.495880°
E 96.026001°		 ← 126.68 m →
16 045 m²		 S 65.495880°
E 96.028747°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766742706298828 y=0.743045806884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766742706298828 × 217)
    floor (0.766742706298828 × 131072)
    floor (100498.5)     		tx = 100498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743045806884766 × 217)
    floor (0.743045806884766 × 131072)
    floor (97392.5)     		ty = 97392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100498 / 97392 ti = "17/100498/97392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100498/97392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100498 ÷ 217
    100498 ÷ 131072     		x = 0.766738891601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97392 ÷ 217
    97392 ÷ 131072     		y = 0.7430419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766738891601562 × 2 - 1) × π
    0.533477783203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.67596988
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7430419921875 × 2 - 1) × π
    -0.486083984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.52707787429651
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67596988} λ = 1.67596988}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52707787429651))-π/2
    2×atan(0.217169337135728)-π/2
    2×0.213848723159505-π/2
    0.427697446319011-1.57079632675     		φ = -1.14309888
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67596988} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.026001°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14309888 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.494741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100498 KachelY 97392 1.67596988 -1.14309888 96.026001 -65.494741
    Oben rechts KachelX + 1 100499 KachelY 97392 1.67601782 -1.14309888 96.028747 -65.494741
    Unten links KachelX 100498 KachelY + 1 97393 1.67596988 -1.14311876 96.026001 -65.495880
    Unten rechts KachelX + 1 100499 KachelY + 1 97393 1.67601782 -1.14311876 96.028747 -65.495880
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14309888--1.14311876) × R
    1.98799999999721e-05 × 6371000     		dl = 126.655479999823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14309888--1.14311876) × R
    1.98799999999721e-05 × 6371000     		dr = 126.655479999823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67596988-1.67601782) × cos(-1.14309888) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.41477675720618 × 6371000     		do = 126.683498004415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67596988-1.67601782) × cos(-1.14311876) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.414758667850874 × 6371000     		du = 126.677973049684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14309888)-sin(-1.14311876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41477675720618-0.414758667850874)×R²
    abs(1.67601782-1.67596988)×1.80893553063943e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.80893553063943e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.80893553063943e-05×40589641000000     		ar = 16044.8093656206m²