Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100496 / 100080
↖ ↑ ↗
← S 68.382996°
E 96.020508°		 ← 112.52 m → S 68.382996°
E 96.023255°		 →
↑
112.51 m
↓
↑
112.51 m
↓
S 68.384008°
E 96.020508°		 ← 112.51 m →
12 659 m²		 S 68.384008°
E 96.023255°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766727447509766 y=0.763553619384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766727447509766 × 217)
    floor (0.766727447509766 × 131072)
    floor (100496.5)     		tx = 100496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763553619384766 × 217)
    floor (0.763553619384766 × 131072)
    floor (100080.5)     		ty = 100080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100496 / 100080 ti = "17/100496/100080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100496/100080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100496 ÷ 217
    100496 ÷ 131072     		x = 0.7667236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100080 ÷ 217
    100080 ÷ 131072     		y = 0.7635498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7667236328125 × 2 - 1) × π
    0.533447265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.67587401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7635498046875 × 2 - 1) × π
    -0.527099609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.65593226047522
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67587401} λ = 1.67587401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65593226047522))-π/2
    2×atan(0.190913991148972)-π/2
    2×0.188643944144848-π/2
    0.377287888289696-1.57079632675     		φ = -1.19350844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67587401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.020508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19350844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.382996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100496 KachelY 100080 1.67587401 -1.19350844 96.020508 -68.382996
    Oben rechts KachelX + 1 100497 KachelY 100080 1.67592195 -1.19350844 96.023255 -68.382996
    Unten links KachelX 100496 KachelY + 1 100081 1.67587401 -1.19352610 96.020508 -68.384008
    Unten rechts KachelX + 1 100497 KachelY + 1 100081 1.67592195 -1.19352610 96.023255 -68.384008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19350844--1.19352610) × R
    1.76599999999194e-05 × 6371000     		dl = 112.511859999487m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19350844--1.19352610) × R
    1.76599999999194e-05 × 6371000     		dr = 112.511859999487m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67587401-1.67592195) × cos(-1.19350844) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.36840046471671 × 6371000     		do = 112.518984552371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67587401-1.67592195) × cos(-1.19352610) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.36838404673656 × 6371000     		du = 112.513970078635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19350844)-sin(-1.19352610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36840046471671-0.36838404673656)×R²
    abs(1.67592195-1.67587401)×1.64179801496744e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64179801496744e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64179801496744e-05×40589641000000     		ar = 12659.4381436786m²