Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100495 / 98864
↖ ↑ ↗
← S 67.118748°
E 96.017761°		 ← 118.76 m → S 67.118748°
E 96.020508°		 →
↑
118.76 m
↓
↑
118.76 m
↓
S 67.119816°
E 96.017761°		 ← 118.75 m →
14 103 m²		 S 67.119816°
E 96.020508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766719818115234 y=0.754276275634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766719818115234 × 217)
    floor (0.766719818115234 × 131072)
    floor (100495.5)     		tx = 100495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754276275634766 × 217)
    floor (0.754276275634766 × 131072)
    floor (98864.5)     		ty = 98864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100495 / 98864 ti = "17/100495/98864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100495/98864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100495 ÷ 217
    100495 ÷ 131072     		x = 0.766716003417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98864 ÷ 217
    98864 ÷ 131072     		y = 0.7542724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766716003417969 × 2 - 1) × π
    0.533432006835938 × 3.1415926535     		Λ = 1.67582607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7542724609375 × 2 - 1) × π
    -0.508544921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.59764099053723
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67582607} λ = 1.67582607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59764099053723))-π/2
    2×atan(0.202373356002661)-π/2
    2×0.199676587876887-π/2
    0.399353175753774-1.57079632675     		φ = -1.17144315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67582607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.017761°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17144315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.118748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100495 KachelY 98864 1.67582607 -1.17144315 96.017761 -67.118748
    Oben rechts KachelX + 1 100496 KachelY 98864 1.67587401 -1.17144315 96.020508 -67.118748
    Unten links KachelX 100495 KachelY + 1 98865 1.67582607 -1.17146179 96.017761 -67.119816
    Unten rechts KachelX + 1 100496 KachelY + 1 98865 1.67587401 -1.17146179 96.020508 -67.119816
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17144315--1.17146179) × R
    1.86399999999587e-05 × 6371000     		dl = 118.755439999737m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17144315--1.17146179) × R
    1.86399999999587e-05 × 6371000     		dr = 118.755439999737m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67582607-1.67587401) × cos(-1.17144315) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.388822497263486 × 6371000     		do = 118.75639895527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67582607-1.67587401) × cos(-1.17146179) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.388805323927469 × 6371000     		du = 118.751153776409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17144315)-sin(-1.17146179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388822497263486-0.388805323927469)×R²
    abs(1.67587401-1.67582607)×1.71733360165294e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.71733360165294e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.71733360165294e-05×40589641000000     		ar = 14102.6569645157m²