Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100491 / 97388
↖ ↑ ↗
← S 65.490184°
E 96.006775°		 ← 126.68 m → S 65.490184°
E 96.009521°		 →
↑
126.72 m
↓
↑
126.72 m
↓
S 65.491324°
E 96.006775°		 ← 126.67 m →
16 052 m²		 S 65.491324°
E 96.009521°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100491 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766689300537109 y=0.743015289306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766689300537109 × 217)
    floor (0.766689300537109 × 131072)
    floor (100491.5)     		tx = 100491
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743015289306641 × 217)
    floor (0.743015289306641 × 131072)
    floor (97388.5)     		ty = 97388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100491 / 97388 ti = "17/100491/97388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100491/97388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100491 ÷ 217
    100491 ÷ 131072     		x = 0.766685485839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97388 ÷ 217
    97388 ÷ 131072     		y = 0.743011474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766685485839844 × 2 - 1) × π
    0.533370971679688 × 3.1415926535     		Λ = 1.67563433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743011474609375 × 2 - 1) × π
    -0.48602294921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.52688612669803
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67563433} λ = 1.67563433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52688612669803))-π/2
    2×atan(0.217210982827191)-π/2
    2×0.213888492852291-π/2
    0.427776985704582-1.57079632675     		φ = -1.14301934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67563433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.006775°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14301934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.490184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100491 KachelY 97388 1.67563433 -1.14301934 96.006775 -65.490184
    Oben rechts KachelX + 1 100492 KachelY 97388 1.67568226 -1.14301934 96.009521 -65.490184
    Unten links KachelX 100491 KachelY + 1 97389 1.67563433 -1.14303923 96.006775 -65.491324
    Unten rechts KachelX + 1 100492 KachelY + 1 97389 1.67568226 -1.14303923 96.009521 -65.491324
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14301934--1.14303923) × R
    1.98900000001334e-05 × 6371000     		dl = 126.71919000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14301934--1.14303923) × R
    1.98900000001334e-05 × 6371000     		dr = 126.71919000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67563433-1.67568226) × cos(-1.14301934) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.414849131185881 × 6371000     		do = 126.679172842735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67563433-1.67568226) × cos(-1.14303923) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.414831033387501 × 6371000     		du = 126.673646462283m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14301934)-sin(-1.14303923))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414849131185881-0.414831033387501)×R²
    abs(1.67568226-1.67563433)×1.8097798380301e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.8097798380301e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.8097798380301e-05×40589641000000     		ar = 16052.3320240545m²