Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100490 / 97386
↖ ↑ ↗
← S 65.487905°
E 96.004028°		 ← 126.72 m → S 65.487905°
E 96.006775°		 →
↑
126.66 m
↓
↑
126.66 m
↓
S 65.489044°
E 96.004028°		 ← 126.71 m →
16 049 m²		 S 65.489044°
E 96.006775°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100490 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97386 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766681671142578 y=0.743000030517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766681671142578 × 217)
    floor (0.766681671142578 × 131072)
    floor (100490.5)     		tx = 100490
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743000030517578 × 217)
    floor (0.743000030517578 × 131072)
    floor (97386.5)     		ty = 97386
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100490 / 97386 ti = "17/100490/97386"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100490/97386.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100490 ÷ 217
    100490 ÷ 131072     		x = 0.766677856445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97386 ÷ 217
    97386 ÷ 131072     		y = 0.742996215820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766677856445312 × 2 - 1) × π
    0.533355712890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.67558639
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742996215820312 × 2 - 1) × π
    -0.485992431640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.52679025289879
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67558639} λ = 1.67558639}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52679025289879))-π/2
    2×atan(0.217231808667661)-π/2
    2×0.213908380300822-π/2
    0.427816760601644-1.57079632675     		φ = -1.14297957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67558639} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.004028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14297957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.487905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100490 KachelY 97386 1.67558639 -1.14297957 96.004028 -65.487905
    Oben rechts KachelX + 1 100491 KachelY 97386 1.67563433 -1.14297957 96.006775 -65.487905
    Unten links KachelX 100490 KachelY + 1 97387 1.67558639 -1.14299945 96.004028 -65.489044
    Unten rechts KachelX + 1 100491 KachelY + 1 97387 1.67563433 -1.14299945 96.006775 -65.489044
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14297957--1.14299945) × R
    1.98799999999721e-05 × 6371000     		dl = 126.655479999823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14297957--1.14299945) × R
    1.98799999999721e-05 × 6371000     		dr = 126.655479999823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67558639-1.67563433) × cos(-1.14297957) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.414885317191539 × 6371000     		do = 126.716655018277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67558639-1.67563433) × cos(-1.14299945) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.414867228820142 × 6371000     		du = 126.711130364058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14297957)-sin(-1.14299945))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414885317191539-0.414867228820142)×R²
    abs(1.67563433-1.67558639)×1.8088371397218e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.8088371397218e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.8088371397218e-05×40589641000000     		ar = 16049.0089019619m²