Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100489 / 97385
↖ ↑ ↗
← S 65.486766°
E 96.001282°		 ← 126.72 m → S 65.486766°
E 96.004028°		 →
↑
126.72 m
↓
↑
126.72 m
↓
S 65.487905°
E 96.001282°		 ← 126.72 m →
16 058 m²		 S 65.487905°
E 96.004028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766674041748047 y=0.742992401123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766674041748047 × 217)
    floor (0.766674041748047 × 131072)
    floor (100489.5)     		tx = 100489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742992401123047 × 217)
    floor (0.742992401123047 × 131072)
    floor (97385.5)     		ty = 97385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100489 / 97385 ti = "17/100489/97385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100489/97385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100489 ÷ 217
    100489 ÷ 131072     		x = 0.766670227050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97385 ÷ 217
    97385 ÷ 131072     		y = 0.742988586425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766670227050781 × 2 - 1) × π
    0.533340454101562 × 3.1415926535     		Λ = 1.67553845
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742988586425781 × 2 - 1) × π
    -0.485977172851562 × 3.1415926535     		Φ = -1.52674231599917
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67553845} λ = 1.67553845}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52674231599917))-π/2
    2×atan(0.217242222336665)-π/2
    2×0.213918324675674-π/2
    0.427836649351349-1.57079632675     		φ = -1.14295968
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67553845} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.001282°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14295968 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.486766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100489 KachelY 97385 1.67553845 -1.14295968 96.001282 -65.486766
    Oben rechts KachelX + 1 100490 KachelY 97385 1.67558639 -1.14295968 96.004028 -65.486766
    Unten links KachelX 100489 KachelY + 1 97386 1.67553845 -1.14297957 96.001282 -65.487905
    Unten rechts KachelX + 1 100490 KachelY + 1 97386 1.67558639 -1.14297957 96.004028 -65.487905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14295968--1.14297957) × R
    1.98900000001334e-05 × 6371000     		dl = 126.71919000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14295968--1.14297957) × R
    1.98900000001334e-05 × 6371000     		dr = 126.71919000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67553845-1.67558639) × cos(-1.14295968) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.414903414497623 × 6371000     		do = 126.722182401967m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67553845-1.67558639) × cos(-1.14297957) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.414885317191539 × 6371000     		du = 126.716655018864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14295968)-sin(-1.14297957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414903414497623-0.414885317191539)×R²
    abs(1.67558639-1.67553845)×1.80973060833201e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.80973060833201e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.80973060833201e-05×40589641000000     		ar = 16057.782096877m²