Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100488 / 98760
↖ ↑ ↗
← S 67.007428°
E 95.998535°		 ← 119.28 m → S 67.007428°
E 96.001282°		 →
↑
119.33 m
↓
↑
119.33 m
↓
S 67.008501°
E 95.998535°		 ← 119.27 m →
14 233 m²		 S 67.008501°
E 96.001282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766666412353516 y=0.753482818603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766666412353516 × 217)
    floor (0.766666412353516 × 131072)
    floor (100488.5)     		tx = 100488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753482818603516 × 217)
    floor (0.753482818603516 × 131072)
    floor (98760.5)     		ty = 98760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100488 / 98760 ti = "17/100488/98760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100488/98760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100488 ÷ 217
    100488 ÷ 131072     		x = 0.76666259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98760 ÷ 217
    98760 ÷ 131072     		y = 0.75347900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76666259765625 × 2 - 1) × π
    0.5333251953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.67549052
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75347900390625 × 2 - 1) × π
    -0.5069580078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.59265555297675
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67549052} λ = 1.67549052}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59265555297675))-π/2
    2×atan(0.203384794870672)-π/2
    2×0.200648041713699-π/2
    0.401296083427398-1.57079632675     		φ = -1.16950024
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67549052} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.998535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16950024 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.007428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100488 KachelY 98760 1.67549052 -1.16950024 95.998535 -67.007428
    Oben rechts KachelX + 1 100489 KachelY 98760 1.67553845 -1.16950024 96.001282 -67.007428
    Unten links KachelX 100488 KachelY + 1 98761 1.67549052 -1.16951897 95.998535 -67.008501
    Unten rechts KachelX + 1 100489 KachelY + 1 98761 1.67553845 -1.16951897 96.001282 -67.008501
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16950024--1.16951897) × R
    1.87299999998558e-05 × 6371000     		dl = 119.328829999081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16950024--1.16951897) × R
    1.87299999998558e-05 × 6371000     		dr = 119.328829999081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67549052-1.67553845) × cos(-1.16950024) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.390611789885647 × 6371000     		do = 119.278009100935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67549052-1.67553845) × cos(-1.16951897) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.390594547812607 × 6371000     		du = 119.27274402651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16950024)-sin(-1.16951897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390611789885647-0.390594547812607)×R²
    abs(1.67553845-1.67549052)×1.72420730400469e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.72420730400469e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.72420730400469e-05×40589641000000     		ar = 14232.9911334775m²