Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100487 / 97407
↖ ↑ ↗
← S 65.511824°
E 95.995789°		 ← 126.60 m → S 65.511824°
E 95.998535°		 →
↑
126.59 m
↓
↑
126.59 m
↓
S 65.512963°
E 95.995789°		 ← 126.60 m →
16 026 m²		 S 65.512963°
E 95.998535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766658782958984 y=0.743160247802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766658782958984 × 217)
    floor (0.766658782958984 × 131072)
    floor (100487.5)     		tx = 100487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743160247802734 × 217)
    floor (0.743160247802734 × 131072)
    floor (97407.5)     		ty = 97407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100487 / 97407 ti = "17/100487/97407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100487/97407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100487 ÷ 217
    100487 ÷ 131072     		x = 0.766654968261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97407 ÷ 217
    97407 ÷ 131072     		y = 0.743156433105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766654968261719 × 2 - 1) × π
    0.533309936523438 × 3.1415926535     		Λ = 1.67544258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743156433105469 × 2 - 1) × π
    -0.486312866210938 × 3.1415926535     		Φ = -1.52779692779081
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67544258} λ = 1.67544258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52779692779081))-π/2
    2×atan(0.217013236893944)-π/2
    2×0.213699648597387-π/2
    0.427399297194774-1.57079632675     		φ = -1.14339703
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67544258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.995789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14339703 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.511824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100487 KachelY 97407 1.67544258 -1.14339703 95.995789 -65.511824
    Oben rechts KachelX + 1 100488 KachelY 97407 1.67549052 -1.14339703 95.998535 -65.511824
    Unten links KachelX 100487 KachelY + 1 97408 1.67544258 -1.14341690 95.995789 -65.512963
    Unten rechts KachelX + 1 100488 KachelY + 1 97408 1.67549052 -1.14341690 95.998535 -65.512963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14339703--1.14341690) × R
    1.98700000000329e-05 × 6371000     		dl = 126.59177000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14339703--1.14341690) × R
    1.98700000000329e-05 × 6371000     		dr = 126.59177000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67544258-1.67549052) × cos(-1.14339703) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.414505445170726 × 6371000     		do = 126.600632325802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67544258-1.67549052) × cos(-1.14341690) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.414487362458354 × 6371000     		du = 126.595109399994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14339703)-sin(-1.14341690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414505445170726-0.414487362458354)×R²
    abs(1.67549052-1.67544258)×1.80827123720251e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.80827123720251e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.80827123720251e-05×40589641000000     		ar = 16026.2485512661m²