Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100484 / 102016
↖ ↑ ↗
← S 70.259452°
E 95.987549°		 ← 103.14 m → S 70.259452°
E 95.990295°		 →
↑
103.15 m
↓
↑
103.15 m
↓
S 70.260380°
E 95.987549°		 ← 103.13 m →
10 638 m²		 S 70.260380°
E 95.990295°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766635894775391 y=0.778324127197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766635894775391 × 217)
    floor (0.766635894775391 × 131072)
    floor (100484.5)     		tx = 100484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778324127197266 × 217)
    floor (0.778324127197266 × 131072)
    floor (102016.5)     		ty = 102016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100484 / 102016 ti = "17/100484/102016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100484/102016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100484 ÷ 217
    100484 ÷ 131072     		x = 0.766632080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102016 ÷ 217
    102016 ÷ 131072     		y = 0.7783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766632080078125 × 2 - 1) × π
    0.53326416015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.67529877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7783203125 × 2 - 1) × π
    -0.556640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.74873809813965
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67529877} λ = 1.67529877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74873809813965))-π/2
    2×atan(0.173993367529675)-π/2
    2×0.172268779379758-π/2
    0.344537558759516-1.57079632675     		φ = -1.22625877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67529877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.987549°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22625877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.259452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100484 KachelY 102016 1.67529877 -1.22625877 95.987549 -70.259452
    Oben rechts KachelX + 1 100485 KachelY 102016 1.67534670 -1.22625877 95.990295 -70.259452
    Unten links KachelX 100484 KachelY + 1 102017 1.67529877 -1.22627496 95.987549 -70.260380
    Unten rechts KachelX + 1 100485 KachelY + 1 102017 1.67534670 -1.22627496 95.990295 -70.260380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22625877--1.22627496) × R
    1.61899999999715e-05 × 6371000     		dl = 103.146489999818m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22625877--1.22627496) × R
    1.61899999999715e-05 × 6371000     		dr = 103.146489999818m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67529877-1.67534670) × cos(-1.22625877) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.337761447152447 × 6371000     		do = 103.139521158272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67529877-1.67534670) × cos(-1.22627496) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.33774620856617 × 6371000     		du = 103.134867872632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22625877)-sin(-1.22627496))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337761447152447-0.33774620856617)×R²
    abs(1.67534670-1.67529877)×1.52385862776105e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.52385862776105e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.52385862776105e-05×40589641000000     		ar = 10638.2396028598m²