Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100483 / 102017
↖ ↑ ↗
← S 70.260380°
E 95.984802°		 ← 103.16 m → S 70.260380°
E 95.987549°		 →
↑
103.15 m
↓
↑
103.15 m
↓
S 70.261307°
E 95.984802°		 ← 103.15 m →
10 640 m²		 S 70.261307°
E 95.987549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100483 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102017 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766628265380859 y=0.778331756591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766628265380859 × 217)
    floor (0.766628265380859 × 131072)
    floor (100483.5)     		tx = 100483
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778331756591797 × 217)
    floor (0.778331756591797 × 131072)
    floor (102017.5)     		ty = 102017
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100483 / 102017 ti = "17/100483/102017"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100483/102017.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100483 ÷ 217
    100483 ÷ 131072     		x = 0.766624450683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102017 ÷ 217
    102017 ÷ 131072     		y = 0.778327941894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766624450683594 × 2 - 1) × π
    0.533248901367188 × 3.1415926535     		Λ = 1.67525083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778327941894531 × 2 - 1) × π
    -0.556655883789062 × 3.1415926535     		Φ = -1.74878603503927
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67525083} λ = 1.67525083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74878603503927))-π/2
    2×atan(0.173985027026992)-π/2
    2×0.172260683944054-π/2
    0.344521367888107-1.57079632675     		φ = -1.22627496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67525083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.984802°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22627496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.260380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100483 KachelY 102017 1.67525083 -1.22627496 95.984802 -70.260380
    Oben rechts KachelX + 1 100484 KachelY 102017 1.67529877 -1.22627496 95.987549 -70.260380
    Unten links KachelX 100483 KachelY + 1 102018 1.67525083 -1.22629115 95.984802 -70.261307
    Unten rechts KachelX + 1 100484 KachelY + 1 102018 1.67529877 -1.22629115 95.987549 -70.261307
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22627496--1.22629115) × R
    1.61899999999715e-05 × 6371000     		dl = 103.146489999818m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22627496--1.22629115) × R
    1.61899999999715e-05 × 6371000     		dr = 103.146489999818m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67525083-1.67529877) × cos(-1.22627496) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.33774620856617 × 6371000     		do = 103.156385683449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67525083-1.67529877) × cos(-1.22629115) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.337730969891363 × 6371000     		du = 103.15173139992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22627496)-sin(-1.22629115))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.33774620856617-0.337730969891363)×R²
    abs(1.67529877-1.67525083)×1.52386748062949e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52386748062949e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52386748062949e-05×40589641000000     		ar = 10639.9790679749m²