Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100481 / 96896
↖ ↑ ↗
← S 64.923542°
E 95.979309°		 ← 129.42 m → S 64.923542°
E 95.982055°		 →
↑
129.40 m
↓
↑
129.40 m
↓
S 64.924706°
E 95.979309°		 ← 129.42 m →
16 746 m²		 S 64.924706°
E 95.982055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766613006591797 y=0.739261627197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766613006591797 × 217)
    floor (0.766613006591797 × 131072)
    floor (100481.5)     		tx = 100481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739261627197266 × 217)
    floor (0.739261627197266 × 131072)
    floor (96896.5)     		ty = 96896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100481 / 96896 ti = "17/100481/96896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100481/96896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100481 ÷ 217
    100481 ÷ 131072     		x = 0.766609191894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96896 ÷ 217
    96896 ÷ 131072     		y = 0.7392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766609191894531 × 2 - 1) × π
    0.533218383789062 × 3.1415926535     		Λ = 1.67515496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7392578125 × 2 - 1) × π
    -0.478515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.50330117208496
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67515496} λ = 1.67515496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50330117208496))-π/2
    2×atan(0.222394783562592)-π/2
    2×0.218833380670323-π/2
    0.437666761340645-1.57079632675     		φ = -1.13312957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67515496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.979309°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13312957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.923542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100481 KachelY 96896 1.67515496 -1.13312957 95.979309 -64.923542
    Oben rechts KachelX + 1 100482 KachelY 96896 1.67520289 -1.13312957 95.982055 -64.923542
    Unten links KachelX 100481 KachelY + 1 96897 1.67515496 -1.13314988 95.979309 -64.924706
    Unten rechts KachelX + 1 100482 KachelY + 1 96897 1.67520289 -1.13314988 95.982055 -64.924706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13312957--1.13314988) × R
    2.03100000000234e-05 × 6371000     		dl = 129.395010000149m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13312957--1.13314988) × R
    2.03100000000234e-05 × 6371000     		dr = 129.395010000149m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67515496-1.67520289) × cos(-1.13312957) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.423827301899101 × 6371000     		do = 129.420765277412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67515496-1.67520289) × cos(-1.13314988) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.423808906170954 × 6371000     		du = 129.415147920521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13312957)-sin(-1.13314988))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423827301899101-0.423808906170954)×R²
    abs(1.67520289-1.67515496)×1.83957281472691e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.83957281472691e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.83957281472691e-05×40589641000000     		ar = 16746.0377888316m²