Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100480 / 98753
↖ ↑ ↗
← S 66.999917°
E 95.976562°		 ← 119.34 m → S 66.999917°
E 95.979309°		 →
↑
119.33 m
↓
↑
119.33 m
↓
S 67.000990°
E 95.976562°		 ← 119.33 m →
14 240 m²		 S 67.000990°
E 95.979309°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766605377197266 y=0.753429412841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766605377197266 × 217)
    floor (0.766605377197266 × 131072)
    floor (100480.5)     		tx = 100480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753429412841797 × 217)
    floor (0.753429412841797 × 131072)
    floor (98753.5)     		ty = 98753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100480 / 98753 ti = "17/100480/98753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100480/98753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100480 ÷ 217
    100480 ÷ 131072     		x = 0.7666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98753 ÷ 217
    98753 ÷ 131072     		y = 0.753425598144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7666015625 × 2 - 1) × π
    0.533203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.67510702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753425598144531 × 2 - 1) × π
    -0.506851196289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.59231999467941
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67510702} λ = 1.67510702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59231999467941))-π/2
    2×atan(0.203453053777925)-π/2
    2×0.200713588349717-π/2
    0.401427176699433-1.57079632675     		φ = -1.16936915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67510702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.976562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16936915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.999917°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100480 KachelY 98753 1.67510702 -1.16936915 95.976562 -66.999917
    Oben rechts KachelX + 1 100481 KachelY 98753 1.67515496 -1.16936915 95.979309 -66.999917
    Unten links KachelX 100480 KachelY + 1 98754 1.67510702 -1.16938788 95.976562 -67.000990
    Unten rechts KachelX + 1 100481 KachelY + 1 98754 1.67515496 -1.16938788 95.979309 -67.000990
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16936915--1.16938788) × R
    1.87299999998558e-05 × 6371000     		dl = 119.328829999081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16936915--1.16938788) × R
    1.87299999998558e-05 × 6371000     		dr = 119.328829999081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67510702-1.67515496) × cos(-1.16936915) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.390732462149618 × 6371000     		do = 119.339751393991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67510702-1.67515496) × cos(-1.16938788) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.39071522103578 × 6371000     		du = 119.334485514039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16936915)-sin(-1.16938788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390732462149618-0.39071522103578)×R²
    abs(1.67515496-1.67510702)×1.72411138378847e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.72411138378847e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.72411138378847e-05×40589641000000     		ar = 14240.3587209772m²