Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100479 / 96897
S 64.924706°
E 95.973816°
← 129.44 m → S 64.924706°
E 95.976562°

129.46 m

129.46 m
S 64.925870°
E 95.973816°
← 129.44 m →
16 757 m²
S 64.925870°
E 95.976562°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100479 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96897 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766597747802734 y=0.739269256591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766597747802734 × 217)
    floor (0.766597747802734 × 131072)
    floor (100479.5)
    tx = 100479
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739269256591797 × 217)
    floor (0.739269256591797 × 131072)
    floor (96897.5)
    ty = 96897
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100479 / 96897 ti = "17/100479/96897"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100479/96897.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100479 ÷ 217
    100479 ÷ 131072
    x = 0.766593933105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96897 ÷ 217
    96897 ÷ 131072
    y = 0.739265441894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.766593933105469 × 2 - 1) × π
    0.533187866210938 × 3.1415926535
    Λ = 1.67505908
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.739265441894531 × 2 - 1) × π
    -0.478530883789062 × 3.1415926535
    Φ = -1.50334910898458
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67505908} λ = 1.67505908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50334910898458))-π/2
    2×atan(0.222384122901698)-π/2
    2×0.218823222407341-π/2
    0.437646444814682-1.57079632675
    φ = -1.13314988
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67505908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.973816°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13314988 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.924706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100479 KachelY 96897 1.67505908 -1.13314988 95.973816 -64.924706
    Oben rechts KachelX + 1 100480 KachelY 96897 1.67510702 -1.13314988 95.976562 -64.924706
    Unten links KachelX 100479 KachelY + 1 96898 1.67505908 -1.13317020 95.973816 -64.925870
    Unten rechts KachelX + 1 100480 KachelY + 1 96898 1.67510702 -1.13317020 95.976562 -64.925870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-1.13314988--1.13317020) × R
    2.03199999999626e-05 × 6371000
    dl = 129.458719999762m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-1.13314988--1.13317020) × R
    2.03199999999626e-05 × 6371000
    dr = 129.458719999762m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(1.67505908-1.67510702) × cos(-1.13314988) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.423808906170954 × 6371000
    do = 129.442148785769m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(1.67505908-1.67510702) × cos(-1.13317020) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.423790501210385 × 6371000
    du = 129.436527437068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-1.13314988)-sin(-1.13317020))×
    abs(λ12)×abs(0.423808906170954-0.423790501210385)×
    abs(1.67510702-1.67505908)×1.84049605690406e-05×
    4.79399999999686e-05×1.84049605690406e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.84049605690406e-05×40589641000000
    ar = 16757.0510302172m²