Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100477 / 102019
↖ ↑ ↗
← S 70.262235°
E 95.968323°		 ← 103.15 m → S 70.262235°
E 95.971070°		 →
↑
103.15 m
↓
↑
103.15 m
↓
S 70.263163°
E 95.968323°		 ← 103.14 m →
10 639 m²		 S 70.263163°
E 95.971070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102019 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766582489013672 y=0.778347015380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766582489013672 × 217)
    floor (0.766582489013672 × 131072)
    floor (100477.5)     		tx = 100477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778347015380859 × 217)
    floor (0.778347015380859 × 131072)
    floor (102019.5)     		ty = 102019
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100477 / 102019 ti = "17/100477/102019"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100477/102019.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100477 ÷ 217
    100477 ÷ 131072     		x = 0.766578674316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102019 ÷ 217
    102019 ÷ 131072     		y = 0.778343200683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766578674316406 × 2 - 1) × π
    0.533157348632812 × 3.1415926535     		Λ = 1.67496321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778343200683594 × 2 - 1) × π
    -0.556686401367188 × 3.1415926535     		Φ = -1.74888190883851
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67496321} λ = 1.67496321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74888190883851))-π/2
    2×atan(0.173968347221031)-π/2
    2×0.172244494168404-π/2
    0.344488988336807-1.57079632675     		φ = -1.22630734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67496321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.968323°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22630734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.262235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100477 KachelY 102019 1.67496321 -1.22630734 95.968323 -70.262235
    Oben rechts KachelX + 1 100478 KachelY 102019 1.67501115 -1.22630734 95.971070 -70.262235
    Unten links KachelX 100477 KachelY + 1 102020 1.67496321 -1.22632353 95.968323 -70.263163
    Unten rechts KachelX + 1 100478 KachelY + 1 102020 1.67501115 -1.22632353 95.971070 -70.263163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22630734--1.22632353) × R
    1.61899999999715e-05 × 6371000     		dl = 103.146489999818m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22630734--1.22632353) × R
    1.61899999999715e-05 × 6371000     		dr = 103.146489999818m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67496321-1.67501115) × cos(-1.22630734) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.337715731128032 × 6371000     		do = 103.147077089353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67496321-1.67501115) × cos(-1.22632353) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.337700492276181 × 6371000     		du = 103.142422751749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22630734)-sin(-1.22632353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337715731128032-0.337700492276181)×R²
    abs(1.67501115-1.67496321)×1.52388518517843e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52388518517843e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52388518517843e-05×40589641000000     		ar = 10639.0189163235m²