Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100469 / 101850
↖ ↑ ↗
← S 70.104878°
E 95.946350°		 ← 103.94 m → S 70.104878°
E 95.949097°		 →
↑
103.91 m
↓
↑
103.91 m
↓
S 70.105812°
E 95.946350°		 ← 103.93 m →
10 800 m²		 S 70.105812°
E 95.949097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100469 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766521453857422 y=0.777057647705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766521453857422 × 217)
    floor (0.766521453857422 × 131072)
    floor (100469.5)     		tx = 100469
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777057647705078 × 217)
    floor (0.777057647705078 × 131072)
    floor (101850.5)     		ty = 101850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100469 / 101850 ti = "17/100469/101850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100469/101850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100469 ÷ 217
    100469 ÷ 131072     		x = 0.766517639160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101850 ÷ 217
    101850 ÷ 131072     		y = 0.777053833007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766517639160156 × 2 - 1) × π
    0.533035278320312 × 3.1415926535     		Λ = 1.67457971
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777053833007812 × 2 - 1) × π
    -0.554107666015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.74078057280272
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67457971} λ = 1.67457971}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74078057280272))-π/2
    2×atan(0.175383447623797)-π/2
    2×0.173617695698409-π/2
    0.347235391396818-1.57079632675     		φ = -1.22356094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67457971} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.946350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22356094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.104878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100469 KachelY 101850 1.67457971 -1.22356094 95.946350 -70.104878
    Oben rechts KachelX + 1 100470 KachelY 101850 1.67462765 -1.22356094 95.949097 -70.104878
    Unten links KachelX 100469 KachelY + 1 101851 1.67457971 -1.22357725 95.946350 -70.105812
    Unten rechts KachelX + 1 100470 KachelY + 1 101851 1.67462765 -1.22357725 95.949097 -70.105812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22356094--1.22357725) × R
    1.63099999999083e-05 × 6371000     		dl = 103.911009999416m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22356094--1.22357725) × R
    1.63099999999083e-05 × 6371000     		dr = 103.911009999416m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67457971-1.67462765) × cos(-1.22356094) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.340299498159273 × 6371000     		do = 103.936226046856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67457971-1.67462765) × cos(-1.22357725) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.340284161542084 × 6371000     		du = 103.931541849202m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22356094)-sin(-1.22357725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340299498159273-0.340284161542084)×R²
    abs(1.67462765-1.67457971)×1.53366171888325e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53366171888325e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53366171888325e-05×40589641000000     		ar = 10799.8748543408m²