Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100467 / 98228
↖ ↑ ↗
← S 66.429931°
E 95.940857°		 ← 122.13 m → S 66.429931°
E 95.943604°		 →
↑
122.13 m
↓
↑
122.13 m
↓
S 66.431029°
E 95.940857°		 ← 122.13 m →
14 916 m²		 S 66.431029°
E 95.943604°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100467 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766506195068359 y=0.749423980712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766506195068359 × 217)
    floor (0.766506195068359 × 131072)
    floor (100467.5)     		tx = 100467
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749423980712891 × 217)
    floor (0.749423980712891 × 131072)
    floor (98228.5)     		ty = 98228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100467 / 98228 ti = "17/100467/98228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100467/98228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100467 ÷ 217
    100467 ÷ 131072     		x = 0.766502380371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98228 ÷ 217
    98228 ÷ 131072     		y = 0.749420166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766502380371094 × 2 - 1) × π
    0.533004760742188 × 3.1415926535     		Λ = 1.67448384
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749420166015625 × 2 - 1) × π
    -0.49884033203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.56715312237888
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67448384} λ = 1.67448384}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56715312237888))-π/2
    2×atan(0.20863830540463)-π/2
    2×0.205687657429413-π/2
    0.411375314858826-1.57079632675     		φ = -1.15942101
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67448384} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.940857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15942101 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.429931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100467 KachelY 98228 1.67448384 -1.15942101 95.940857 -66.429931
    Oben rechts KachelX + 1 100468 KachelY 98228 1.67453178 -1.15942101 95.943604 -66.429931
    Unten links KachelX 100467 KachelY + 1 98229 1.67448384 -1.15944018 95.940857 -66.431029
    Unten rechts KachelX + 1 100468 KachelY + 1 98229 1.67453178 -1.15944018 95.943604 -66.431029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15942101--1.15944018) × R
    1.91700000000683e-05 × 6371000     		dl = 122.132070000435m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15942101--1.15944018) × R
    1.91700000000683e-05 × 6371000     		dr = 122.132070000435m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67448384-1.67453178) × cos(-1.15942101) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.399870282273386 × 6371000     		do = 122.130676867278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67448384-1.67453178) × cos(-1.15944018) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.399852711519628 × 6371000     		du = 122.125310306809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15942101)-sin(-1.15944018))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399870282273386-0.399852711519628)×R²
    abs(1.67453178-1.67448384)×1.75707537579117e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75707537579117e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75707537579117e-05×40589641000000     		ar = 14915.7446623513m²