Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100465 / 97425
↖ ↑ ↗
← S 65.532309°
E 95.935364°		 ← 126.47 m → S 65.532309°
E 95.938110°		 →
↑
126.53 m
↓
↑
126.53 m
↓
S 65.533446°
E 95.935364°		 ← 126.47 m →
16 002 m²		 S 65.533446°
E 95.938110°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97425 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766490936279297 y=0.743297576904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766490936279297 × 217)
    floor (0.766490936279297 × 131072)
    floor (100465.5)     		tx = 100465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743297576904297 × 217)
    floor (0.743297576904297 × 131072)
    floor (97425.5)     		ty = 97425
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100465 / 97425 ti = "17/100465/97425"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100465/97425.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100465 ÷ 217
    100465 ÷ 131072     		x = 0.766487121582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97425 ÷ 217
    97425 ÷ 131072     		y = 0.743293762207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766487121582031 × 2 - 1) × π
    0.532974243164062 × 3.1415926535     		Λ = 1.67438797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743293762207031 × 2 - 1) × π
    -0.486587524414062 × 3.1415926535     		Φ = -1.52865979198397
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67438797} λ = 1.67438797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52865979198397))-π/2
    2×atan(0.216826064706089)-π/2
    2×0.21352088784263-π/2
    0.427041775685259-1.57079632675     		φ = -1.14375455
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67438797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.935364°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14375455 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.532309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100465 KachelY 97425 1.67438797 -1.14375455 95.935364 -65.532309
    Oben rechts KachelX + 1 100466 KachelY 97425 1.67443590 -1.14375455 95.938110 -65.532309
    Unten links KachelX 100465 KachelY + 1 97426 1.67438797 -1.14377441 95.935364 -65.533446
    Unten rechts KachelX + 1 100466 KachelY + 1 97426 1.67443590 -1.14377441 95.938110 -65.533446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14375455--1.14377441) × R
    1.98600000000937e-05 × 6371000     		dl = 126.528060000597m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14375455--1.14377441) × R
    1.98600000000937e-05 × 6371000     		dr = 126.528060000597m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67438797-1.67443590) × cos(-1.14375455) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.414180058743224 × 6371000     		do = 126.474863523428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67438797-1.67443590) × cos(-1.14377441) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.41416198218949 × 6371000     		du = 126.469343630284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14375455)-sin(-1.14377441))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414180058743224-0.41416198218949)×R²
    abs(1.67443590-1.67438797)×1.80765537346472e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.80765537346472e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.80765537346472e-05×40589641000000     		ar = 16002.2699104255m²