Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100463 / 98800
↖ ↑ ↗
← S 67.050304°
E 95.929870°		 ← 119.09 m → S 67.050304°
E 95.932617°		 →
↑
119.07 m
↓
↑
119.07 m
↓
S 67.051375°
E 95.929870°		 ← 119.09 m →
14 181 m²		 S 67.051375°
E 95.932617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100463 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766475677490234 y=0.753787994384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766475677490234 × 217)
    floor (0.766475677490234 × 131072)
    floor (100463.5)     		tx = 100463
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753787994384766 × 217)
    floor (0.753787994384766 × 131072)
    floor (98800.5)     		ty = 98800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100463 / 98800 ti = "17/100463/98800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100463/98800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100463 ÷ 217
    100463 ÷ 131072     		x = 0.766471862792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98800 ÷ 217
    98800 ÷ 131072     		y = 0.7537841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766471862792969 × 2 - 1) × π
    0.532943725585938 × 3.1415926535     		Λ = 1.67429209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7537841796875 × 2 - 1) × π
    -0.507568359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.59457302896155
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67429209} λ = 1.67429209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59457302896155))-π/2
    2×atan(0.202995183065848)-π/2
    2×0.200273877712042-π/2
    0.400547755424084-1.57079632675     		φ = -1.17024857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67429209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.929870°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17024857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.050304°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100463 KachelY 98800 1.67429209 -1.17024857 95.929870 -67.050304
    Oben rechts KachelX + 1 100464 KachelY 98800 1.67434003 -1.17024857 95.932617 -67.050304
    Unten links KachelX 100463 KachelY + 1 98801 1.67429209 -1.17026726 95.929870 -67.051375
    Unten rechts KachelX + 1 100464 KachelY + 1 98801 1.67434003 -1.17026726 95.932617 -67.051375
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17024857--1.17026726) × R
    1.86899999998769e-05 × 6371000     		dl = 119.073989999215m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17024857--1.17026726) × R
    1.86899999998769e-05 × 6371000     		dr = 119.073989999215m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67429209-1.67434003) × cos(-1.17024857) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.389922801281348 × 6371000     		do = 119.092460124151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67429209-1.67434003) × cos(-1.17026726) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.38990559057255 × 6371000     		du = 119.08720353068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17024857)-sin(-1.17026726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389922801281348-0.38990559057255)×R²
    abs(1.67434003-1.67429209)×1.72107087983431e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.72107087983431e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.72107087983431e-05×40589641000000     		ar = 14180.5014444828m²