Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100454 / 101462
↖ ↑ ↗
← S 69.739042°
E 95.905151°		 ← 105.77 m → S 69.739042°
E 95.907898°		 →
↑
105.76 m
↓
↑
105.76 m
↓
S 69.739993°
E 95.905151°		 ← 105.76 m →
11 186 m²		 S 69.739993°
E 95.907898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100454 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766407012939453 y=0.774097442626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766407012939453 × 217)
    floor (0.766407012939453 × 131072)
    floor (100454.5)     		tx = 100454
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774097442626953 × 217)
    floor (0.774097442626953 × 131072)
    floor (101462.5)     		ty = 101462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100454 / 101462 ti = "17/100454/101462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100454/101462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100454 ÷ 217
    100454 ÷ 131072     		x = 0.766403198242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101462 ÷ 217
    101462 ÷ 131072     		y = 0.774093627929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766403198242188 × 2 - 1) × π
    0.532806396484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.67386066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774093627929688 × 2 - 1) × π
    -0.548187255859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.72218105575014
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67386066} λ = 1.67386066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72218105575014))-π/2
    2×atan(0.178676020259668)-π/2
    2×0.176810213794554-π/2
    0.353620427589108-1.57079632675     		φ = -1.21717590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67386066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.905151°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21717590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.739042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100454 KachelY 101462 1.67386066 -1.21717590 95.905151 -69.739042
    Oben rechts KachelX + 1 100455 KachelY 101462 1.67390860 -1.21717590 95.907898 -69.739042
    Unten links KachelX 100454 KachelY + 1 101463 1.67386066 -1.21719250 95.905151 -69.739993
    Unten rechts KachelX + 1 100455 KachelY + 1 101463 1.67390860 -1.21719250 95.907898 -69.739993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21717590--1.21719250) × R
    1.65999999999222e-05 × 6371000     		dl = 105.758599999505m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21717590--1.21719250) × R
    1.65999999999222e-05 × 6371000     		dr = 105.758599999505m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67386066-1.67390860) × cos(-1.21717590) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.346296482903467 × 6371000     		do = 105.767859550609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67386066-1.67390860) × cos(-1.21719250) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.346280909978718 × 6371000     		du = 105.763103178544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21717590)-sin(-1.21719250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346296482903467-0.346280909978718)×R²
    abs(1.67390860-1.67386066)×1.55729247495184e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.55729247495184e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.55729247495184e-05×40589641000000     		ar = 11185.6092376043m²