Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100448 / 101472
↖ ↑ ↗
← S 69.748551°
E 95.888672°		 ← 105.72 m → S 69.748551°
E 95.891419°		 →
↑
105.69 m
↓
↑
105.69 m
↓
S 69.749502°
E 95.888672°		 ← 105.72 m →
11 174 m²		 S 69.749502°
E 95.891419°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766361236572266 y=0.774173736572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766361236572266 × 217)
    floor (0.766361236572266 × 131072)
    floor (100448.5)     		tx = 100448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774173736572266 × 217)
    floor (0.774173736572266 × 131072)
    floor (101472.5)     		ty = 101472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100448 / 101472 ti = "17/100448/101472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100448/101472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100448 ÷ 217
    100448 ÷ 131072     		x = 0.766357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101472 ÷ 217
    101472 ÷ 131072     		y = 0.774169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766357421875 × 2 - 1) × π
    0.53271484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.67357304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774169921875 × 2 - 1) × π
    -0.54833984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.72266042474634
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67357304} λ = 1.67357304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72266042474634))-π/2
    2×atan(0.178590389041307)-π/2
    2×0.176727230556573-π/2
    0.353454461113147-1.57079632675     		φ = -1.21734187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67357304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.888672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21734187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.748551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100448 KachelY 101472 1.67357304 -1.21734187 95.888672 -69.748551
    Oben rechts KachelX + 1 100449 KachelY 101472 1.67362098 -1.21734187 95.891419 -69.748551
    Unten links KachelX 100448 KachelY + 1 101473 1.67357304 -1.21735846 95.888672 -69.749502
    Unten rechts KachelX + 1 100449 KachelY + 1 101473 1.67362098 -1.21735846 95.891419 -69.749502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21734187--1.21735846) × R
    1.6589999999983e-05 × 6371000     		dl = 105.694889999892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21734187--1.21735846) × R
    1.6589999999983e-05 × 6371000     		dr = 105.694889999892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67357304-1.67362098) × cos(-1.21734187) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.346140777508011 × 6371000     		do = 105.72030311449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67357304-1.67362098) × cos(-1.21735846) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.346125213011299 × 6371000     		du = 105.715549316564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21734187)-sin(-1.21735846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346140777508011-0.346125213011299)×R²
    abs(1.67362098-1.67357304)×1.55644967124724e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55644967124724e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55644967124724e-05×40589641000000     		ar = 11173.8445824428m²