Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100446 / 98794
↖ ↑ ↗
← S 67.043878°
E 95.883179°		 ← 119.10 m → S 67.043878°
E 95.885925°		 →
↑
119.07 m
↓
↑
119.07 m
↓
S 67.044949°
E 95.883179°		 ← 119.09 m →
14 181 m²		 S 67.044949°
E 95.885925°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100446 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766345977783203 y=0.753742218017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766345977783203 × 217)
    floor (0.766345977783203 × 131072)
    floor (100446.5)     		tx = 100446
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753742218017578 × 217)
    floor (0.753742218017578 × 131072)
    floor (98794.5)     		ty = 98794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100446 / 98794 ti = "17/100446/98794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100446/98794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100446 ÷ 217
    100446 ÷ 131072     		x = 0.766342163085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98794 ÷ 217
    98794 ÷ 131072     		y = 0.753738403320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766342163085938 × 2 - 1) × π
    0.532684326171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.67347717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753738403320312 × 2 - 1) × π
    -0.507476806640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.59428540756383
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67347717} λ = 1.67347717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59428540756383))-π/2
    2×atan(0.203053577221433)-π/2
    2×0.200329960208847-π/2
    0.400659920417693-1.57079632675     		φ = -1.17013641
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67347717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.883179°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17013641 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.043878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100446 KachelY 98794 1.67347717 -1.17013641 95.883179 -67.043878
    Oben rechts KachelX + 1 100447 KachelY 98794 1.67352510 -1.17013641 95.885925 -67.043878
    Unten links KachelX 100446 KachelY + 1 98795 1.67347717 -1.17015510 95.883179 -67.044949
    Unten rechts KachelX + 1 100447 KachelY + 1 98795 1.67352510 -1.17015510 95.885925 -67.044949
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17013641--1.17015510) × R
    1.86899999998769e-05 × 6371000     		dl = 119.073989999215m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17013641--1.17015510) × R
    1.86899999998769e-05 × 6371000     		dr = 119.073989999215m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67347717-1.67352510) × cos(-1.17013641) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.390026081089672 × 6371000     		do = 119.09915587456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67347717-1.67352510) × cos(-1.17015510) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.390008871198348 × 6371000     		du = 119.093900627209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17013641)-sin(-1.17015510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390026081089672-0.390008871198348)×R²
    abs(1.67352510-1.67347717)×1.72098913245322e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.72098913245322e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.72098913245322e-05×40589641000000     		ar = 14181.2988143255m²