Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100445 / 98199
↖ ↑ ↗
← S 66.398060°
E 95.880432°		 ← 122.29 m → S 66.398060°
E 95.883179°		 →
↑
122.26 m
↓
↑
122.26 m
↓
S 66.399160°
E 95.880432°		 ← 122.28 m →
14 950 m²		 S 66.399160°
E 95.883179°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100445 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766338348388672 y=0.749202728271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766338348388672 × 217)
    floor (0.766338348388672 × 131072)
    floor (100445.5)     		tx = 100445
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749202728271484 × 217)
    floor (0.749202728271484 × 131072)
    floor (98199.5)     		ty = 98199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100445 / 98199 ti = "17/100445/98199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100445/98199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100445 ÷ 217
    100445 ÷ 131072     		x = 0.766334533691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98199 ÷ 217
    98199 ÷ 131072     		y = 0.749198913574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766334533691406 × 2 - 1) × π
    0.532669067382812 × 3.1415926535     		Λ = 1.67342923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749198913574219 × 2 - 1) × π
    -0.498397827148438 × 3.1415926535     		Φ = -1.56576295228989
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67342923} λ = 1.67342923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56576295228989))-π/2
    2×atan(0.208928549834038)-π/2
    2×0.205965778418745-π/2
    0.41193155683749-1.57079632675     		φ = -1.15886477
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67342923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.880432°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15886477 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.398060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100445 KachelY 98199 1.67342923 -1.15886477 95.880432 -66.398060
    Oben rechts KachelX + 1 100446 KachelY 98199 1.67347717 -1.15886477 95.883179 -66.398060
    Unten links KachelX 100445 KachelY + 1 98200 1.67342923 -1.15888396 95.880432 -66.399160
    Unten rechts KachelX + 1 100446 KachelY + 1 98200 1.67347717 -1.15888396 95.883179 -66.399160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15886477--1.15888396) × R
    1.91899999999467e-05 × 6371000     		dl = 122.259489999661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15886477--1.15888396) × R
    1.91899999999467e-05 × 6371000     		dr = 122.259489999661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67342923-1.67347717) × cos(-1.15886477) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.40038005425208 × 6371000     		do = 122.286374351102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67342923-1.67347717) × cos(-1.15888396) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.400362469437675 × 6371000     		du = 122.281003496149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15886477)-sin(-1.15888396))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40038005425208-0.400362469437675)×R²
    abs(1.67347717-1.67342923)×1.75848144054469e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75848144054469e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75848144054469e-05×40589641000000     		ar = 14950.3414435925m²