Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100443 / 97401
↖ ↑ ↗
← S 65.504992°
E 95.874939°		 ← 126.61 m → S 65.504992°
E 95.877685°		 →
↑
126.66 m
↓
↑
126.66 m
↓
S 65.506131°
E 95.874939°		 ← 126.60 m →
16 035 m²		 S 65.506131°
E 95.877685°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100443 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766323089599609 y=0.743114471435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766323089599609 × 217)
    floor (0.766323089599609 × 131072)
    floor (100443.5)     		tx = 100443
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743114471435547 × 217)
    floor (0.743114471435547 × 131072)
    floor (97401.5)     		ty = 97401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100443 / 97401 ti = "17/100443/97401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100443/97401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100443 ÷ 217
    100443 ÷ 131072     		x = 0.766319274902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97401 ÷ 217
    97401 ÷ 131072     		y = 0.743110656738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766319274902344 × 2 - 1) × π
    0.532638549804688 × 3.1415926535     		Λ = 1.67333336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743110656738281 × 2 - 1) × π
    -0.486221313476562 × 3.1415926535     		Φ = -1.52750930639309
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67333336} λ = 1.67333336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52750930639309))-π/2
    2×atan(0.21707566352165)-π/2
    2×0.213759266717199-π/2
    0.427518533434398-1.57079632675     		φ = -1.14327779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67333336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.874939°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14327779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.504992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100443 KachelY 97401 1.67333336 -1.14327779 95.874939 -65.504992
    Oben rechts KachelX + 1 100444 KachelY 97401 1.67338129 -1.14327779 95.877685 -65.504992
    Unten links KachelX 100443 KachelY + 1 97402 1.67333336 -1.14329767 95.874939 -65.506131
    Unten rechts KachelX + 1 100444 KachelY + 1 97402 1.67338129 -1.14329767 95.877685 -65.506131
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14327779--1.14329767) × R
    1.98799999999721e-05 × 6371000     		dl = 126.655479999823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14327779--1.14329767) × R
    1.98799999999721e-05 × 6371000     		dr = 126.655479999823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67333336-1.67338129) × cos(-1.14327779) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.414613956207928 × 6371000     		do = 126.607359334061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67333336-1.67338129) × cos(-1.14329767) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.414595865377694 × 6371000     		du = 126.601835081417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14327779)-sin(-1.14329767))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414613956207928-0.414595865377694)×R²
    abs(1.67338129-1.67333336)×1.80908302339633e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.80908302339633e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.80908302339633e-05×40589641000000     		ar = 16035.1660300111m²